京都大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
有理数 $p,q,r$ が $p+q\sqrt{2}+r\sqrt{3}=0$ を満たすとする。

まず $p\mathrm{\ne }0$ かつ $q\mathrm{\ne }0$ と仮定する。このとき $p+q\sqrt{2}=-r\sqrt{3}$ と書ける。両辺を2乗すると $p^2+2q^2+2pq\sqrt{2}=3r^2$ である。したがって $2pq\sqrt{2}=3r^2-p^2-2q^2$ となる。右辺は有理数であり、$2pq\mathrm{\ne }0$ だから $\sqrt{2}$ が有理数になってしまう。これは仮定に反する。よって $$p=0\text{または}q=0$$ である。 $p=0$ の場合、$q\sqrt{2}+r\sqrt{3}=0$ である。もし $r\mathrm{\ne }0$ かつ $q\mathrm{\ne }0$ なら、両辺に $\sqrt{2}$ をかけて $2q+r\sqrt{6}=0$ となり、$\sqrt{6}$ が有理数になってしまう。これは矛盾である。したがって $q=0$ または $r=0$ であり、どちらの場合も元の式から残りの係数も0になる。よって $q=r=0$ である。 $q=0$ の場合、$p+r\sqrt{3}=0$ である。もし $r\mathrm{\ne }0$ なら $\sqrt{3}=-p\mathrm{/}r$ が有理数になり矛盾する。したがって $r=0$、さらに $p=0$ である。

以上より、必ず $p=q=r=0$ である。

(2)
背理法で示す。3つの値 $f(1),f(1+\sqrt{2}),f(\sqrt{3})$ がすべて有理数であると仮定する。

まず $f(x)=x^2+ax+b$ だから $f(1)=1+a+b$ である。また $$f(1+\sqrt{2})=(1+\sqrt{2}{)}^2+a(1+\sqrt{2})+b$$ であり、差を取ると $$f(1+\sqrt{2})-f(1)=2+(a+2)\sqrt{2}$$ である。左辺は有理数なので、ある有理数 $u$ を用いて $(a+2)\sqrt{2}=u$ と書ける。したがって $$a+2={\displaystyle \frac{u}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{u\sqrt{2}}{2}}$$ である。$q=u\mathrm{/}2$ とおけば $q$ は有理数であり、$a=-2+q\sqrt{2}$ と書ける。

次に $$f(\sqrt{3})-f(1)=2+a(\sqrt{3}-1)$$ である。これも有理数なので、ある有理数 $s$ を用いて $a(\sqrt{3}-1)=s$ と書ける。よって $$a={\displaystyle \frac{s}{\sqrt{3}-1}}={\displaystyle \frac{s(\sqrt{3}+1)}{2}}$$ である。

2つの $a$ の表示を等置すると $$-2+q\sqrt{2}={\displaystyle \frac{s(\sqrt{3}+1)}{2}}$$ である。両辺を2倍して整理すると $$(-4-s)+2q\sqrt{2}-s\sqrt{3}=0$$ である。ここで $-4-s$, $2q$, $-s$ はすべて有理数であるから、(1)より $$-4-s=0,2q=0,-s=0$$ でなければならない。しかし $-4-s=0$ と $-s=0$ は同時に成り立たない。これは矛盾である。

したがって、3つの値がすべて有理数であることは不可能であり、$f(1),f(1+\sqrt{2}),f(\sqrt{3})\text{ のいずれかは無理数である}$ が示された。

3つの値が全て有理数と仮定し、差から $a\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ と $a\in \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ を得る。(1)により両体の共通部分が有理数だけであることを示し、$a=-2$ と $a=0$ が同時に必要になる矛盾を導く。

(1) $$p+q\sqrt{2}=r(-\sqrt{3})\mathrm{.}$$$r=0$ なら $\sqrt{2}$ の無理性から $p=q=0$。$r\mathrm{\ne }0$ なら平方して$$p^2+2q^2+2pq\sqrt{2}=3r^2\mathrm{.}$$$pq\mathrm{\ne }0$ なら $\sqrt{2}$ が有理数となるので $pq=0$。$p=0$ なら $\sqrt{6}$、$q=0$ なら $\sqrt{3}$ が有理数となるため、結局 $p=q=r=0$ である。

(2)
3値が全て有理数と仮定する。差を取ると$$f(1+\sqrt{2})-f(1)=2+(a+2)\sqrt{2}\in \mathbb{Q},$$$$f(\sqrt{3})-f(1)=2+a(\sqrt{3}-1)\in \mathbb{Q}\mathrm{.}$$従って$$a=-2+q\sqrt{2}=r+s\sqrt{3}$$となる有理数 $q,r,s$ が存在する。(1)より$$\mathbb{Q}(\sqrt{2})\cap \mathbb{Q}(\sqrt{3})=\mathbb{Q}$$だから $a$ は有理数である。すると $(a+2)\sqrt{2}$ が有理数であるため $a=-2$、また $a(\sqrt{3}-1)$ が有理数であるため $a=0$ が必要となり矛盾する。従って少なくとも1つは無理数である。