京都大学 1988年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

まず十分性を示す。整数 $p,q,r$ によって$$f(x)=\frac{p}{6}x(x+1)(x+2)+\frac{q}{2}x(x+1)+rx$$と表されるとする。整数 $n$ に対して $n(n+1)$ は2の倍数であり、$n(n+1)(n+2)$ は6の倍数である。したがって各項は整数となり、$f(n)$ は整数である。

次に必要性を示す。すべての整数 $n$ について $f(n)$ が整数であると仮定する。順に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r}& {\displaystyle =-f(-1),}\\ {\displaystyle q}& {\displaystyle =f(-2)+2r,}\\ {\displaystyle p}& {\displaystyle =-f(-3)+3q-3r}\end{array}$$と定めると、$p,q,r$ はすべて整数である。

この3整数を用いて$$F(x)=\frac{p}{6}x(x+1)(x+2)+\frac{q}{2}x(x+1)+rx$$とおく。定義から$$F(-1)=f(-1),F(-2)=f(-2),F(-3)=f(-3),F(0)=f(0)=0$$である。3次以下の多項式 $f(x)-F(x)$ は相異なる4実数 $-3,-2,-1,0$ を根にもつので、恒等的に0である。よって $f(x)=F(x)$ となり、必要性も示された。

必要性では負の整数を使わず、整数である $f(1),f(2),f(3)$ から前進差分型の整数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ を作る。まず下降積 $x(x-1)(x-2)$ の表示を得て、それを問題文の上昇積 $x(x+1)(x+2)$ の表示へ整数係数のまま変換する。十分性は連続整数積の2・6による割り切れ方で確認する。

すべての整数 $n$ について $f(n)$ が整数であると仮定する。とくに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \alpha }& {\displaystyle =f(3)-3f(2)+3f(1),}\\ {\displaystyle \beta }& {\displaystyle =f(2)-2f(1),}\\ {\displaystyle \gamma }& {\displaystyle =f(1)}\end{array}$$は整数である。

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$ を代入して整理すると$$\alpha =6a,\beta =6a+2b,\gamma =a+b+c$$である。したがって$$f(x)=\frac{\alpha }{6}x(x-1)(x-2)+\frac{\beta }{2}x(x-1)+\gamma x$$が成り立つ。

ここで$$p=\alpha ,q=\beta -2\alpha ,r=\gamma +\alpha -\beta$$とおくと、$p,q,r$ は整数である。右辺を展開すれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \frac{p}{6}x(x+1)(x+2)+\frac{q}{2}x(x+1)+rx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\alpha }{6}x(x-1)(x-2)+\frac{\beta }{2}x(x-1)+\gamma x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =f(x)}\end{array}$$となるので、問題文の表示を得る。

逆に、整数 $p,q,r$ による問題文の表示があるとする。整数 $n$ に対して、連続する2整数の積 $n(n+1)$ は2の倍数、連続する3整数の積 $n(n+1)(n+2)$ は6の倍数である。よって表示の各項は整数となり、すべての整数 $n$ で $f(n)$ は整数である。

以上で必要十分性が示された。