京都大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

接点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とする。2曲線が $P$ を通り、そこで接線を共有するので $$t^3-t=t^2-a,3t^2-1=2t$$ が成り立つ。後式より $3t^2-2t-1=0$ だから $t=1,t=-\frac{1}{3}$ である。また関数値の一致から $a=-t^3+t^2+t$ である。

まず $t=1$ のとき $a=1$ である。このとき2曲線の差は $$x^3-x-(x^2-1)=x^3-x^2-x+1=(x-1{)}^2(x+1)$$ である。囲まれる部分は $-1\leqq x\leqq 1$ にあり、この区間で差は $0$ 以上である。したがって面積は $${\int }_{-1}^1(x^3-x^2-x+1)dx=\frac{4}{3}$$ である。

次に $t=-\frac{1}{3}$ のとき $a=-\frac{5}{27}$ である。このとき $$x^3-x-(x^2+\frac{5}{27})=\frac{1}{27}(3x-5)(3x+1{)}^2$$ である。交点の $x$ 座標は $-\frac{1}{3}$ と $\frac{5}{3}$ で、$-\frac{1}{3}$ は接点に対応する重解である。区間 $$-\frac{1}{3}\leqq x\leqq \frac{5}{3}$$ では $3x-5\leqq 0$ だから、上の差は $0$ 以下である。よって面積は $-{\int }_{-1\mathrm{/}3}^{5\mathrm{/}3}\{x^3-x-(x^2+\frac{5}{27})\}dx$ である。計算すると $$-{\int }_{-1\mathrm{/}3}^{5\mathrm{/}3}\frac{1}{27}(3x-5)(3x+1{)}^{2}dx=\frac{4}{3}$$ となる。

どちらの場合も面積は同じなので、求める面積は $\frac{4}{3}$ である。

別解。差の式を一般に見ると、接点 $t$ は重解である。差を $F(x)=x^3-x-(x^2-a)$ とおくと、$F(t)=0$、$F^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ であり、もう一つの根を $s$ とすると、3次式の根の和から $2t+s=1$ である。候補 $t=1,-\frac{1}{3}$ に対し、いずれも $\mathrm{\mid }s-t\mathrm{\mid }=2$ となる。したがって平行移動して区間を長さ $2$ に直せば、面積は $${\int }_0^2{u}^2(2-u)du=\frac{4}{3}$$ となり、同じ結果を得る。