京都大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$u=x+1$ とおく。このとき $dx=du$ であり、1つ目の曲線は $$y=-x^3-3x^2-3x-2=-(x+1{)}^3-1=-u^3-1$$ となる。また $$x=\sqrt{y+3}-1$$ は $$u=\sqrt{y+3}$$ であるから、$u\geqq 0$ かつ $y=u^2-3$ を表す。

まず交点を求める。三次曲線と $y=0$ の交点は $-u^3-1=0$ より $u=-1$ である。放物線と $y=0$ の交点は $u^2-3=0,u\geqq 0$ より $u=\sqrt{3}$ である。

次に2曲線の交点は $-u^3-1=u^2-3$ すなわち $u^3+u^2-2=0$ を満たす。これは $$u^3+u^2-2=(u-1)(u^2+2u+2)$$ であり、$u^2+2u+2=(u+1{)}^2+1>0$ だから、実数の交点は $u=1$ だけである。

したがって囲まれる部分は、$-1\leqq u\leqq 1$ では $y=0$ と $y=-u^3-1$ に挟まれ、$1\leqq u\leqq \sqrt{3}$ では $y=0$ と $y=u^2-3$ に挟まれる。よって面積 $S$ は $$S={\int }_{-1}^1\{0-(-u^3-1)\}du+{\int }_1^{\sqrt{3}}\{0-(u^2-3)\}du$$ である。

第1項は $${\int }_{-1}^1(u^3+1)du={[\frac{u^4}{4}+u]}_{-1}^1=2$$ である。第2項は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{3}}(3-u^2)du}& {\displaystyle ={[3u-\frac{u^3}{3}]}_1^{\sqrt{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{3}-\frac{8}{3}}\end{array}$$である。したがって $$S=2+2\sqrt{3}-\frac{8}{3}=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}$$ である。

別解。横に切って面積を求めることもできる。$-2\leqq y\leqq 0$ で、左端は $y=-u^3-1$ から $$x=-\sqrt[3]{y+1}-1$$ であり、右端は $$x=\sqrt{y+3}-1$$ である。したがって幅は $\sqrt{y+3}+\sqrt[3]{y+1}$ であり、面積は ${\int }_{-2}^0(\sqrt{y+3}+\sqrt[3]{y+1})dy$ である。ここで $\sqrt[3]{y+1}$ の積分は $y=-1$ を中心に打ち消し合うので $0$ となり、残りは$${\int }_{-2}^0\sqrt{y+3}dy={[\frac{2}{3}(y+3{)}^{3\mathrm{/}2}]}_{-2}^0=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}$$である。