京都大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

方程式 $x^3-px+q=0$ の三つの解を $\alpha ,\beta ,\gamma$ とする。仮定より $\alpha ,\beta ,\gamma$ はすべて実数である。

解と係数の関係から $\alpha +\beta +\gamma =0,$ $$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-p,$$ $\alpha \beta \gamma =-q$ である。

ここで ${\alpha }^2,{\beta }^2,{\gamma }^2$ を解にもつ三次方程式を考える。その解の和は$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )=0-2(-p)=2p$$である。

次に二つずつの積の和は$${\alpha }^2{\beta }^2+{\beta }^2{\gamma }^2+{\gamma }^2{\alpha }^2=(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha {)}^2-2\alpha \beta \gamma (\alpha +\beta +\gamma )$$である。右辺に上の関係を代入すると $(-p{)}^2-2(-q)\cdot 0=p^2$ となる。

また三つの積は $${\alpha }^2{\beta }^2{\gamma }^2=(\alpha \beta \gamma {)}^2=q^2$$ である。

したがって ${\alpha }^2,{\beta }^2,{\gamma }^2$ を解にもつ三次方程式は $x^3-(2p)x^2+p^{2}x-q^2=0$ である。これはまさに $x^3-2p{x}^2+p^{2}x-q^2=0$ である。 $\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数なので，${\alpha }^2,{\beta }^2,{\gamma }^2$ もすべて実数である。よって与えられた方程式 $x^3-2p{x}^2+p^{2}x-q^2=0$ はすべて実数解をもつ。重解がある場合も，同じ解と係数の関係で重複を含めて扱えるので結論は変わらない。