京都大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $X$ が3で割り切れないのは，$n$ 回すべてで3の倍数 $3,6$ が出ない場合である。1回で3の倍数が出ない確率は $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ であるから $$\mathrm{P}(X\text{ が3で割り切れない})={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$$ である。よって $${\displaystyle p_n=1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}$$ である。

(2) $X$ が6で割り切れるには，積に2の因子と3の因子がともに含まれればよい。そこで余事象を包除原理で数える。

2の因子が含まれないのは，すべての出目が奇数 $1,3,5$ である場合だから，その確率は $${\left(\frac{3}{6}\right)}^n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$$ である。3の因子が含まれないのは，すべての出目が $1,2,4,5$ のいずれかである場合だから，その確率は $${\left(\frac{4}{6}\right)}^n={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$$ である。

この2つが同時に起こるのは，2の因子も3の因子も含まれない場合，すなわちすべての出目が $1,5$ のいずれかである場合である。その確率は $${\left(\frac{2}{6}\right)}^n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$$ である。

したがって，$X$ が6で割り切れない確率は ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ である。よって$${\displaystyle q_n=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n}$$である。