京都大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
積 $X$ が3で割り切れないのは，$n$ 回すべてで3の倍数が出ない場合である。3の倍数は $3,6$ の2通りなので，3の倍数でない目は4通りである。よって$$\mathrm{P}(X\text{ が3で割り切れない})={\left(\frac{4}{6}\right)}^n={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$$である。したがって $${\displaystyle p_n=1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}$$ である。

(2) $X$ が4で割り切れるには，積全体に2の因子が少なくとも2個含まれればよい。逆に，4で割り切れないのは，2の因子の合計が0個または1個の場合である。

2の因子が0個であるには，すべての出目が奇数 $1,3,5$ でなければならない。その確率は $${\left(\frac{3}{6}\right)}^n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$$ である。

2の因子がちょうど1個であるには，$2$ または $6$ がちょうど1回出て，残りはすべて奇数であればよい。$2$ または $6$ が出る確率は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ であり，その位置の選び方は $n$ 通りあるから，この確率は $n\cdot \frac{1}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ である。

以上より $$q_n=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-n\cdot \frac{1}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$ である。すなわち$${\displaystyle q_n=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-\frac{n}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}$$である。