京都大学 1987年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

分子、分母をそれぞれ$P(x),Q(x)$とおくと$$Q(x)-P(x)=-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3)\mathrm{.}$$分数式が既約でないなら、$P,Q$の共通因子は$Q-P$も割る。したがって共通根は$x=1$または$x=3$である。

$x=1$のとき$P(1)=10-2a$だから$a=5$である。このとき$$P=(x-1)(x^2-4x+8),Q=(x-1)(x^2-5x+11),$$よって約分後は${\displaystyle {\displaystyle \frac{x^2-4x+8}{x^2-5x+11}}}$である。

$x=3$のとき$P(3)=60-10a$だから$a=6$である。このとき$$P=(x-3)(x^2-3x+3),Q=(x-3)(x-2{)}^2,$$よって約分後は${\displaystyle {\displaystyle \frac{x^2-3x+3}{(x-2{)}^2}}}$である。以上より$a=5,6$であり、これ以外には共通因子をもたない。

分子を $P$、分母を $Q$ とし、共通因子を保ったまま $Q-P$ を取る。差の二つの一次因子について剰余定理で $P(1),P(3)$ を調べ、二次因子が共通になる可能性も除く。

分子を $P(x)$、分母を $Q(x)$ とする。多項式のユークリッドの互除法の考え方から$$\gcd (P,Q)=\gcd (P,Q-P)$$である。ここで$$Q(x)-P(x)=-(x-1)(x-3)\mathrm{.}$$したがって共通因子の候補は $x-1$、$x-3$、またはその積だけである。

剰余定理により$$P(1)=10-2a,P(3)=60-10a\mathrm{.}$$よって $x-1$ が共通因子となるのは $a=5$、$x-3$ が共通因子となるのは $a=6$ のときである。両方が同時に0になる $a$ はないから、二次式 $(x-1)(x-3)$ 全体が共通因子となる場合はない。

$a=5$ では$${\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}}={\displaystyle \frac{(x-1)(x^2-4x+8)}{(x-1)(x^2-5x+11)}}={\displaystyle \frac{x^2-4x+8}{x^2-5x+11}}\mathrm{.}$$$a=6$ では$${\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}}={\displaystyle \frac{(x-3)(x^2-3x+3)}{(x-3)(x-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{x^2-3x+3}{(x-2{)}^2}}\mathrm{.}$$したがって答えは $a=5,6$ である。