京都大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

円の直径の両端は $A(0,2)$，$P(0,-p)$ であるから，中心は $(0,\frac{2-p}{2})$ で，半径は $\frac{p+2}{2}$ である。したがって円の方程式は $$x^2+{(y-\frac{2-p}{2})}^2={\left(\frac{p+2}{2}\right)}^2$$ となる。

この円と直線 $y=1$ との交点を求める。$y=1$ を代入すると $$x^2+{(1-\frac{2-p}{2})}^2={\left(\frac{p+2}{2}\right)}^2$$ すなわち $$x^2+\frac{p^2}{4}=\frac{p^2+4p+4}{4}$$ であるから $x^2=p+1$ を得る。$s\geqq 0$ であり，$Q$ は右側の点を用いるので，この交点を $M(\sqrt{p+1},1)$ とおく。

いま $M$ は $P(0,-p)$ と $Q(s,t)$ の中点であるから $$\frac{s}{2}=\sqrt{p+1},\frac{t-p}{2}=1$$ である。よって $${\displaystyle s=2\sqrt{p+1},t=p+2}$$ となる。

(2)

次に $Q$ の軌跡を求める。$t=p+2$ より $p=t-2$ であり，これを $s^2=4(p+1)$ に代入すると $s^2=4(t-1)$ を得る。したがって通常の座標 $(x,y)$ で書けば $${\displaystyle y=\frac{x^2}{4}+1}$$ である。ただし $p>0$ なので $t>2$，また $$s=2\sqrt{p+1}>2$$ である。したがって実際の軌跡は，放物線 $$y=\frac{x^2}{4}+1$$ のうち $$x>2(\text{したがって }y>2)$$ を満たす部分である。

最後に接線であることを示す。直線 $PQ$ の傾きは$$\frac{t-(-p)}{s-0}=\frac{t+p}{s}=\frac{p+2+p}{2\sqrt{p+1}}=\frac{2p+2}{2\sqrt{p+1}}=\sqrt{p+1}$$である。一方，軌跡 $$y=\frac{x^2}{4}+1$$ の点 $Q(s,t)$ における接線の傾きは $$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{2},$$ したがって $$x=s=2\sqrt{p+1}$$ を代入して $$\frac{s}{2}=\sqrt{p+1}$$ である。これは直線 $PQ$ の傾きと一致する。

また $Q$ はこの放物線上にあるから，$P,Q$ を結ぶ直線は点 $Q$ における軌跡の接線である。