京大 1992年度文系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

(1) は $x + y = 2$ と $x^{2} + y^{2} = 5$ から $x y$ を求め， $x, y$ を2次方程式の2解として出すと対称に処理できる。(2)は $L = 4 x + 4 y - 3$ ， $R = x^{2} + y^{2}$ とおき， $\max {L, R} ≦ 5$ は両方が5以下， $\max {L, R} ≧ 1$ は少なくとも一方が1以上，と分解する。図示では大きい円と直線 $x + y = 2$ で切った領域から，小さい円内かつ $x + y < 1$ の開いた部分だけを除く。

解答

(1) $x + y = 2, x^{2} + y^{2} = 5$ である。 $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y$ を用いると $4 = 5 + 2 x y$ だから $x y = - \frac{1}{2}$ である。

したがって $x, y$ は2次方程式 $T^{2} - 2 T - \frac{1}{2} = 0$ の2つの解である。これを解くと $T = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ である。よって交点は $(1 + \frac{\sqrt{6}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}), (1 - \frac{\sqrt{6}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{6}}{2})$ である。

(2) $L = 4 x + 4 y - 3, R = x^{2} + y^{2}$ とおく。条件 $1 ≦ \max {L, R} ≦ 5$ を上下に分けて考える。

まず $\max {L, R} ≦ 5$ は $L ≦ 5, R ≦ 5$ と同値である。すなわち $x + y ≦ 2, x^{2} + y^{2} ≦ 5$ である。

次に $\max {L, R} ≧ 1$ は， $L$ と $R$ の少なくとも一方が1以上であることと同値である。したがって $L ≧ 1 または R ≧ 1$ すなわち $x + y ≧ 1 または x^{2} + y^{2} ≧ 1$ である。

以上より，求める範囲は $x + y ≦ 2, x^{2} + y^{2} ≦ 5$ を満たす領域のうち， $x + y < 1, x^{2} + y^{2} < 1$ を同時に満たす開いた部分を除いたものである。

図示すると，原点中心・半径 $\sqrt{5}$ の円の内部および周上を直線 $x + y = 2$ の下側に制限し，そこから原点中心・半径1の円の内部でかつ直線 $x + y = 1$ の下側にある開いた部分を取り除く。境界 $x + y = 2$ ， $x^{2} + y^{2} = 5$ ， $x + y = 1$ ， $x^{2} + y^{2} = 1$ は条件を満たす部分では含まれる。

総評

最大値記号を領域条件に分解する問題である。目安時間は13分。上限 $\max ≦ 5$ は「両方が5以下」，下限 $\max ≧ 1$ は「少なくとも一方が1以上」となる点が最重要である。図では除く部分が開領域になるため，境界を含めるかどうかを明確にしたい。(1)の交点は，外側の円と直線 $x + y = 2$ の境界を描くときの確認にも使える。

出典: 京都大学 1992年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

京都大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

方針

解答

総評

京都大学 1992年度前期日程第2次学力試験文系数学第1問