京都大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

まず $$0<a,b<\frac{\pi }{4}$$ の場合を考える。端点を含む場合は最後に扱う。

右側の不等式を示す。$h(x)=\tan x$ とおくと $$h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2\tan x(1+{\tan }^{2}x)$$ である。$0<x<\pi \mathrm{/}4$ では $\tan x>0$ だから $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$ であり，$h(x)=\tan x$ はこの区間で下に凸である。したがって$$\tan \frac{a+b}{2}=h\left(\frac{a+b}{2}\right)\leqq \frac{h(a)+h(b)}{2}=\frac{\tan a+\tan b}{2}$$が成り立つ。

次に左側の不等式を示す。$k(x)=\log (\tan x)$ とおく。$0<x<\pi \mathrm{/}4$ で定義され，$$k^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}$$ である。さらに $$k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{4\cos 2x}{{\sin }^{2}2x}$$ である。$0<x<\pi \mathrm{/}4$ では $\cos 2x>0$ だから $k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$ であり，$k(x)$ はこの区間で上に凸である。したがって $$k\left(\frac{a+b}{2}\right)\geqq \frac{k(a)+k(b)}{2}$$ である。これを指数の形に戻すと $$\tan \frac{a+b}{2}\geqq \sqrt{\tan a\tan b}$$ を得る。

以上より，$0<a,b<\pi \mathrm{/}4$ では $$\sqrt{\tan a\tan b}\leqq \tan \frac{a+b}{2}\leqq \frac{\tan a+\tan b}{2}$$ が成り立つ。

最後に，$a=0$ または $b=0$ の場合を考える。両辺に現れる $\tan x$ は $[0,\pi \mathrm{/}4]$ で連続であるから，上で得た不等式において $a$ または $b$ を正の値から $0$ に近づければ，同じ不等式が端点でも成り立つ。したがって $$0\leqq a,b\leqq \frac{\pi }{4}$$ 全体で求める不等式が成り立つ。