京都大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$t=\cos \theta$ とおく。$\theta$ がすべての実数を動くとき、$t$ は区間 $[-1,1]$ 全体を動く。また $$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1=2t^2-1$$ だから、与えられた不等式は $a(2t^2-1)+bt<1$ すなわち $F(t)=2a{t}^2+bt-a<1$ がすべての $-1\leqq t\leqq 1$ で成り立つことと同値である。

まず端点条件を調べる。$t=1$ から $a+b<1$ を得る。また $t=-1$ から $a-b<1$ を得る。したがって $a+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }<1$ が必要である。

【$a\geqq 0$ の場合】
このとき $F(t)$ は下に凸、または1次式である。区間 $[-1,1]$ における最大値は端点のどちらかでとるので、端点条件だけで十分である。よって $a\geqq 0,a+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }<1$ である。ただしこの不等式から自動的に $a<1$ である。

【$a<0$ の場合】
このとき $F(t)$ は上に凸であり、頂点が区間内にある場合には頂点で最大値をとる。頂点は $$t=-{\displaystyle \frac{b}{4a}}$$ である。頂点が $[-1,1]$ に入る条件は $\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\leqq -4a$ である。

頂点が区間内にあるとき、頂点での値は $$F(-{\displaystyle \frac{b}{4a}})=-a-{\displaystyle \frac{b^2}{8a}}$$ である。したがって必要な条件は $$-a-{\displaystyle \frac{b^2}{8a}}<1$$ である。$a<0$ に注意して整理すると $b^2<-8a(a+1)$ となる。この右辺が正でなければならないため、この場合は $-1<a<0$ である。

端点条件と頂点条件を合わせて図示しやすい形に整理する。$$-{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq a<0$$ では、$\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }<1-a$ のもとで頂点が区間内に入っても、上の頂点条件は自動的に満たされる。実際、この範囲では $(-4a{)}^2\leqq -8a(a+1)$ である。したがって $$-{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq a<0$$ では端点条件だけでよい。

一方、$$-1<a<-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ では、端点条件を満たす点では頂点が区間内に入り、頂点条件 $b^2<-8a(a+1)$ が端点条件より強い。よって求める範囲は $$-1<a<-{\displaystyle \frac{1}{3}},b^2<-8a(a+1)$$ で表される部分と、$$-{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq a<1,\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }<1-a$$ で表される部分の和集合である。境界はすべて含まれない。ただし2つの部分は $$a=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ で接続し、そのとき $$\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }<{\displaystyle \frac{4}{3}}$$ である。

条件を $u=\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }$ で対称化する。各 $u>0$ に対する $\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ の上限を作り、その上限関数の最小値が端点と内部のどちらで生じるかを調べる。

$t=\cos \theta$ とおく。$t$ と $-t$ の両方で$$2a{t}^2+bt-a<1$$が必要なので、$u=\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\in [0,1]$ を用いると$$2a{u}^2+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }u-a<1$$が全ての $u$ で成り立つことと同値である。$u=0$ からまず $a>-1$ が必要である。

$0<u\leqq 1$ では$$\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }<{\varphi }_a(u),{\varphi }_a(u)={\displaystyle \frac{1+a}{u}}-2au\mathrm{.}$$したがって $\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ は ${\varphi }_a(u)$ の最小値より小さくなければならない。$${\varphi }_a^{\mathrm{\prime }}(u)=-{\displaystyle \frac{1+a}{u^2}}-2a\mathrm{.}$$$a\geqq -1\mathrm{/}3$ では ${\varphi }_a$ の最小値は $u=1$ で生じ、$$\min {\varphi }_a=1-a\mathrm{.}$$一方、$-1<a<-1\mathrm{/}3$ では$$u=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+a}{-2a}}}$$で最小となり、$$\min {\varphi }_a=2\sqrt{-2a(a+1)}=\sqrt{-8a(a+1)}\mathrm{.}$$よって求める領域は$$\{\begin{array}{l}-1<a<-{\displaystyle \frac{1}{3}},b^2<-8a(a+1),\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq a<1,\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }<1-a\end{array}$$の和集合であり、境界は含まない。