京都大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $\sin 3\theta =\sin 2\theta$ より $$\sin 3\theta -\sin 2\theta =0$$ である。和積の公式を用いると $$2\cos \frac{5\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}=0$$ となる。$$0<\theta <\frac{\pi }{2}$$ だから $$\sin \frac{\theta }{2}>0$$ である。したがって $$\cos \frac{5\theta }{2}=0$$ でなければならない。

このとき $$0<\frac{5\theta }{2}<\frac{5\pi }{4}$$ であるから，この範囲で余弦が0になるのは $$\frac{5\theta }{2}=\frac{\pi }{2}$$ だけである。よって $${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{5}}$$ である。

(2) $$0<\theta <\frac{\pi }{2}$$ より $\sin \theta >0$ である。$c=\cos \theta$ とおくと $0<c<1$ であり，$$\sin 3\theta =\sin \theta (4{\cos }^2\theta -1),\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$$だから，与えられた方程式を $\sin \theta$ で割って $4c^2-1=2mc+n$ を得る。すなわち $4c^2-2mc-(n+1)=0$ である。

ここで $f(c)=4c^2-2mc-(n+1)$ とおく。$m,n$ は0以上の整数なので $f(0)=-(n+1)<0$ である。またこの2次方程式の2つの解の積は $$-\frac{n+1}{4}<0$$ であるから，正の解はただ1つである。したがって $0<c<1$ に解を持つためには，その正の解が1より小さければよく，これは $f(1)>0$ と同値である。よって $4-2m-(n+1)>0$ すなわち $2m+n<3$ である。 $m,n$ は0以上の整数なので，候補は $$(m,n)=(0,0),(0,1),(0,2),(1,0)$$ に限られる。それぞれについて $4c^2-2mc-(n+1)=0$ の $0<c<1$ の解を求めると$$\begin{array}{ccc}(m,n)& c=\cos \theta & \theta \\ (0,0)& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\\ (0,1)& {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}& {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\\ (0,2)& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\\ (1,0)& {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}& {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\end{array}$$である。最後の値は $$\cos \frac{\pi }{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$ を用いた。

したがって求める組と解は$${\displaystyle (m,n,\theta )=(0,0,\frac{\pi }{3}),(0,1,\frac{\pi }{4}),(0,2,\frac{\pi }{6}),(1,0,\frac{\pi }{5})}$$である。