京都大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(1)
$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$と加法定理を繰り返すと$$\cos 5\theta =16{\cos }^5\theta -20{\cos }^3\theta +5\cos \theta \mathrm{.}$$従って$$f(x)=16x^5-20x^3+5x\mathrm{.}$$(2)
$\theta =\pi \mathrm{/}10,3\pi \mathrm{/}10,7\pi \mathrm{/}10,9\pi \mathrm{/}10$では$\cos 5\theta =0$であり、余弦はいずれも0ではない。従ってそれらは$$16x^4-20x^2+5=0$$の4根である。また$$\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{10}}=-\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{10}},\cos {\displaystyle \frac{9\pi }{10}}=-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{10}}\mathrm{.}$$$u=x^2$とおくと$16u^2-20u+5=0$の2根は${\cos }^2(\pi \mathrm{/}10),{\cos }^2(3\pi \mathrm{/}10)$である。解と係数の関係からその積は$5\mathrm{/}16$だから、求める4つの余弦の積も$${\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{10}}{\cos }^2{\displaystyle \frac{3\pi }{10}}={\displaystyle \frac{5}{16}}\mathrm{.}$$

(1) はド・モアブルの定理を二項展開して実部を取る。
(2)は負角側の2因子を正角側へ移し、$\sin {18}^{\circ }$ の
二次方程式から積を直接計算する。

(1)

$x=\cos \theta$ とおく。ド・モアブルの定理から$$\cos 5\theta ={\cos }^5\theta -10{\cos }^3\theta {\sin }^2\theta +5\cos \theta {\sin }^4\theta \mathrm{.}$$${\sin }^2\theta =1-x^2$ を代入して整理すると$$f(x)=16x^5-20x^3+5x\mathrm{.}$$(2)$$\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{10}}=-\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{10}},\cos {\displaystyle \frac{9\pi }{10}}=-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{10}}$$だから求める積は$${\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{10}}{\cos }^2{\displaystyle \frac{3\pi }{10}}\mathrm{.}$$$s=\sin (\pi \mathrm{/}10)$ とおく。$$\sin (3\pi \mathrm{/}10)=\cos (\pi \mathrm{/}5)=1-2s^2$$ と$$\sin (3\alpha )=3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha$$ を
$\alpha =\pi \mathrm{/}10$ に用いると$$3s-4s^3=1-2s^2,$$すなわち$$(s-1)(4s^2+2s-1)=0.$$$0<s<1$ の根を取れば$$s={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}\mathrm{.}$$また$$\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{10}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}=2s\cos {\displaystyle \frac{\pi }{10}}\mathrm{.}$$よって4因子の積は$$\{2s(1-s^2){\}}^2={\displaystyle \frac{5}{16}}\mathrm{.}$$