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京都大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

実数a，bに対し，関数f(x)を次のように与える．f(x)=cos⁡2x+4acos⁡x+bすべてのxに対して不等式−6≦f(x)≦6が成立するような点(a,b)の範囲を図示せよ．

難易度6/ 10計算量5/ 10目安20分

三角関数、方程式・不等式　置換、グラフの概形、範囲評価

方針

u=cos⁡x とおくと −1≦u≦1 上の2次関数 2u2+4au+b−1 の値域条件に変わる。上に開く2次関数なので最大値は端点で決まり，最小値は頂点 u=−a が区間内にあるかどうかで分かれる。端点条件から上限 b≦5−4∣a∣ を作り，最小値条件を ∣a∣≦1 と ∣a∣≧1 に分け，最後に上下限が重なる範囲を図示する。

解答

u=cos⁡x とおくと，−1≦u≦1 であり，cos⁡2x=2cos⁡2x−1 より f(x)=2u2+4au+b−1 である。したがって，すべての x について −6≦f(x)≦6 が成り立つ条件は，すべての −1≦u≦1 について −6≦2u2+4au+b−1≦6 が成り立つ条件と同じである。

まず上限を調べる。2u2+4au+b−1 は上に開く2次関数なので，区間 [−1,1] での最大値は端点でとる。よって 2+4a+b−1≦6,2−4a+b−1≦6 である。これは b≦5−4a,b≦5+4a と同値であり，まとめて b≦5−4∣a∣ である。

次に下限を調べる。頂点は u=−a である。∣a∣≦1 のとき，頂点が区間内にあるので最小値は 2a2−4a2+b−1=b−1−2a2 である。したがって b−1−2a2≧−6 より b≧−5+2a2 を得る。

一方，∣a∣≧1 のとき，頂点は区間外にあるので最小値は端点の小さい方である。端点値は b+1+4a,b+1−4a であるから，小さい方は b+1−4∣a∣ である。よって b+1−4∣a∣≧−6 すなわち b≧4∣a∣−7 である。

したがって求める範囲は ∣a∣≦1,−5+2a2≦b≦5−4∣a∣ および 1≦∣a∣≦32,4∣a∣−7≦b≦5−4∣a∣ である。図示すると，∣a∣≦1 では下側が放物線 b=−5+2a2，上側が折れ線 b=5−4∣a∣ で囲まれる部分，1≦∣a∣≦3/2 では2本の折れ線 b=4∣a∣−7，b=5−4∣a∣ に挟まれる部分である。境界はいずれも含む。

別解

解法2

方針

区間上の2次関数の最大値・最小値を、平方完成した式から直接書く。許されるbの上下限が逆転しない条件まで含め、(a,b)平面上の領域を構成する。

解答

u=cos⁡xとおくとf(x)=q(u)=2(u+a)2+b−1−2a2,−1≦u≦1.最大値は凸関数の端点で生じ、max⁡q=b+1+4∣a∣.よってmax⁡q≦6はb≦5−4∣a∣と同値である。

最小値は、頂点−aが区間内にあるかで分かれる。min⁡q={b−1−2a2(∣a∣≦1),b+1−4∣a∣(∣a∣≧1).したがってmin⁡q≧−6からb≧{−5+2a2(∣a∣≦1),4∣a∣−7(∣a∣≧1)を得る。上下限が両立する範囲を調べると、後半では4∣a∣−7≦5−4∣a∣より∣a∣≦3/2である。結論は{∣a∣≦1,−5+2a2≦b≦5−4∣a∣,1≦∣a∣≦32,4∣a∣−7≦b≦5−4∣a∣.

総評

難度は10段階中6、計算量は10段階中5。目安時間は18分から22分。三角関数の問題に見えるが，u=cos⁡x によって区間上の2次関数の最大最小問題へ変わる。最大値は端点だけでよい一方，最小値は頂点が [−1,1] に入るかどうかで条件が変わる。図示では ∣a∣=1 で下側境界が放物線から直線へ切り替わり，∣a∣=3/2 で領域が終わることを明確にしたい。 2解法の結論を照合し、定義域、端点、必要十分性、等号条件を再確認した。図は論証を補助するものに限定し、縮尺に依存しない式も併記している。

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出典: 京都大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。