京都大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

直線 $px+qy=1$ が単位円 $x^2+y^2=1$ に接するためには，原点から直線までの距離が1であればよい。原点からこの直線までの距離は $\frac{1}{\sqrt{p^2+q^2}}$ であるから $p^2+q^2=1$ が成り立つ。

この直線は $x$ 軸，$y$ 軸とそれぞれ $(\frac{1}{p},0),(0,\frac{1}{q})$ で交わる。したがって，この三角形を $y$ 軸のまわりに回転してできる立体は，高さ $\frac{1}{q}$，底面半径 $\frac{1}{p}$ の円すいである。よって$$V=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{1}{p}\right)}^2\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{\pi }{3p^{2}q}$$である。

したがって $V$ を最小にするには，$p^{2}q$ を最大にすればよい。$u=p^2$ とおくと，$0<u<1$ であり $$q=\sqrt{1-u}$$ だから $$p^{2}q=u\sqrt{1-u}$$ である。正の値なので2乗して最大化してよい。 $$\{u\sqrt{1-u}{\}}^2=u^2(1-u)$$ とおくと $$\frac{d}{du}\{u^2(1-u)\}=2u-3u^2=u(2-3u)$$ である。$0<u<1$ では，$u=\frac{2}{3}$ の前で増加し，後で減少するので，最大は $u=\frac{2}{3}$ で生じる。したがって $$p^2=\frac{2}{3},q^2=\frac{1}{3}$$ であり，$p>0,q>0$ より $$p=\sqrt{\frac{2}{3}},q=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ である。

このとき $$p^{2}q=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}$$ だから $$V_{\min }=\frac{\pi }{3\cdot \frac{2}{3\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}\pi }{2}$$ である。

接点については，$p^2+q^2=1$ のとき点 $(p,q)$ は単位円上にあり $p\cdot p+q\cdot q=1$ を満たすので，直線 $px+qy=1$ との接点である。よって求める接点は ${\displaystyle (\sqrt{\frac{2}{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})}$ であり，最小値は ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi }{2}}$ である。

別解。$p^{2}q$ の最大化は微分を使わずにもできる。 $$\frac{p^2}{2}+\frac{p^2}{2}+q^2=p^2+q^2=1$$ であるから，相加平均と相乗平均の関係より$${(\frac{p^2}{2}\cdot \frac{p^2}{2}\cdot q^2)}^{1\mathrm{/}3}\leqq \frac{1}{3}$$である。したがって $$p^{2}q\leqq \frac{2}{3\sqrt{3}}$$ であり，等号は $$\frac{p^2}{2}=q^2$$ のとき，すなわち $p^2=\frac{2}{3}$，$q^2=\frac{1}{3}$ のときに成り立つ。これにより同じ最小値を得る。