京都大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1) 部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_{n+1}}& {\displaystyle ={[x(\log x{)}^{n+1}]}_1^e-(n+1){\int }_1^e(\log x{)}^{n}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e-(n+1)I_n}\end{array}$$である。

(2) $t=\log x$ とおくと $dx=e^{t}dt$ だから$$I_n={\int }_0^1{t}^n{e}^{t}dt$$である。区間 $0\leqq t\leqq 1$ で、指数関数のグラフは両端を結ぶ弦の下側にあるから$$e^t\leqq 1+(e-1)t$$である。よって$$I_n\leqq {\int }_0^1{t}^n\{1+(e-1)t\}dt={\displaystyle \frac{1}{n+1}}+{\displaystyle \frac{e-1}{n+2}}={\displaystyle \frac{(n+1)e+1}{(n+1)(n+2)}}\mathrm{.}$$下側を示す。$t^n$ と $e^t$ はともに増加関数なので、任意の $s,t\in [0,1]$ に対し$$(t^n-s^n)(e^t-e^s)\geqq 0$$である。これを正方形 $0\leqq s,t\leqq 1$ 上で積分して整理すると$$2{\int }_0^1{t}^n{e}^{t}dt-2\left({\int }_0^1{t}^{n}dt\right)\left({\int }_0^1{e}^{t}dt\right)\geqq 0$$となる。したがって$$I_n\geqq {\displaystyle \frac{1}{n+1}}(e-1)$$である。以上で両側の不等式が示された。

(1) の漸化式と上界を組み合わせる。上界は指数関数の凸性で示し、添字を1つ下げた上界を漸化式へ代入して下界を導く。

(1)
部分積分により$$I_{n+1}={[x(\log x{)}^{n+1}]}_1^e-(n+1)I_n=e-(n+1)I_n\mathrm{.}$$(2)
$t=\log x$ とおくと$$I_n={\int }_0^1{t}^n{e}^{t}dt\mathrm{.}$$指数関数は下に凸だから、$0\leqq t\leqq 1$ で$$e^t\leqq 1+(e-1)t\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle I_n}& {\displaystyle \leqq {\int }_0^1{t}^n\{1+(e-1)t\}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{n+1}}+{\displaystyle \frac{e-1}{n+2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(n+1)e+1}{(n+1)(n+2)}}\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(2)}\end{array}$$下界には (1) を添字を1つ下げて$$I_n=e-n{I}_{n-1}$$と使う。(2)を $n-1$ に適用すると$$I_{n-1}\leqq {\displaystyle \frac{ne+1}{n(n+1)}}\mathrm{.}$$したがって$$I_n\geqq e-{\displaystyle \frac{ne+1}{n+1}}={\displaystyle \frac{e-1}{n+1}}\mathrm{.}$$これで両側の不等式が示された。