京都大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $$x=2\cos \theta -\cos 2\theta ,y=2\sin \theta -\sin 2\theta$$ とおく。微分すると $${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}=-2\sin \theta +2\sin 2\theta$$ であり，$${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=2\cos \theta -2\cos 2\theta$$ である。したがって速さの2乗は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\left({\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}\right)}^2}& {\displaystyle =4\{(\sin 2\theta -\sin \theta {)}^2+(\cos \theta -\cos 2\theta {)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\{2-2(\sin 2\theta \sin \theta +\cos 2\theta \cos \theta )\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(2-2\cos \theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8-8\cos \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}}\end{array}$$である。$0\leqq \theta \leqq 2\pi$では$\sin (\theta \mathrm{/}2)\geqq 0$だから，速さは $4\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$ である。

よって曲線の全長は $$L={\int }_0^{2\pi }4\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}d\theta$$ である。計算すると $$L={[-8\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}]}_0^{2\pi }=8+8=16$$ となる。したがって $${\displaystyle L=16}$$ である。

(2) $$0\leqq \theta \leqq {\theta }_n$$の部分の長さは$${\int }_0^{{\theta }_n}4\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}d\theta ={[-8\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}]}_0^{{\theta }_n}=8(1-\cos {\displaystyle \frac{{\theta }_n}{2}})$$である。これが$L\mathrm{/}n=16\mathrm{/}n$に等しいので $$8(1-\cos {\displaystyle \frac{{\theta }_n}{2}})={\displaystyle \frac{16}{n}}$$ となり，$$1-\cos {\displaystyle \frac{{\theta }_n}{2}}={\displaystyle \frac{2}{n}}$$ である。

半角の公式より $$1-\cos {\displaystyle \frac{{\theta }_n}{2}}=2{\sin }^2{\displaystyle \frac{{\theta }_n}{4}}$$ であるから $$2{\sin }^2{\displaystyle \frac{{\theta }_n}{4}}={\displaystyle \frac{2}{n}}$$ となる。$0\leqq {\theta }_n\leqq 2\pi$より$$0\leqq {\theta }_n\mathrm{/}4\leqq \pi \mathrm{/}2$$なので，$$\sin {\displaystyle \frac{{\theta }_n}{4}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$$ である。 $n\to \mathrm{\infty }$のとき右辺は$0$へ近づくから，${\theta }_n\mathrm{/}4\to 0$である。$u={\theta }_n\mathrm{/}4$とおくと $$\sqrt{n}{\theta }_n=4\sqrt{n}u=4{\displaystyle \frac{u}{\sin u}}$$ である。ここで$u\to 0$のとき$\sin u\mathrm{/}u\to 1$だから $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{n}{\theta }_n=4$$ である。

よって求める極限値は ${\displaystyle 4}$ である。

座標を複素数 $z(\theta )=2e^{i\theta }-e^{2i\theta }$ と表し、微分の絶対値から速さを一行で求める。(2)は $1-\cos u$ の標準極限を使う。

(1) $$z(\theta )=2e^{i\theta }-e^{2i\theta }$$と表すと$$z^{\mathrm{\prime }}(\theta )=2i{e}^{i\theta }(1-e^{i\theta })\mathrm{.}$$したがって速さは$$\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}(\theta )\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }1-e^{i\theta }\mathrm{\mid }=4\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}(0\leqq \theta \leqq 2\pi )\mathrm{.}$$よって$$L={\int }_0^{2\pi }4\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}d\theta =16.$$(2)
$0$ から ${\theta }_n$ までの長さは$${\int }_0^{{\theta }_n}4\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}d\theta =8(1-\cos {\displaystyle \frac{{\theta }_n}{2}})\mathrm{.}$$これが $16\mathrm{/}n$ に等しいから$$\begin{array}{cccc}& 1-\cos {\displaystyle \frac{{\theta }_n}{2}}={\displaystyle \frac{2}{n}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$(1)より ${\theta }_n\to 0$ である。$u_n={\theta }_n\mathrm{/}2$ とおくと$$n{u}_n^2={\displaystyle \frac{2u_n^2}{1-\cos u_n}}\mathrm{.}$$$$\underset{u\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1-\cos u}{u^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$を用いて $n{u}_n^2\to 4$。${\theta }_n=2u_n>0$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{n}{\theta }_n=2\sqrt{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n{u}_n^2}=4.$$