京都大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$f(x)$ が0なら定数である。以下，$f(x)$ は0でないとする。$f$ の次数を $m$，最高次係数を $A$ とし，$$f(x)=A{x}^m+B{x}^{m-1}+\text{次数が }m-1\text{ 未満の項}$$ と書く。ただし $m=0$ の場合はすでに定数なので，矛盾を出す部分では $m\geqq 1$ と仮定する。

まず$${\int }_x^{x+1}{t}^{m}dt={\displaystyle \frac{(x+1{)}^{m+1}-x^{m+1}}{m+1}}=x^m+{\displaystyle \frac{m}{2}}{x}^{m-1}+\text{次数が }m-1\text{ 未満の項}$$である。また $${\int }_x^{x+1}{t}^{m-1}dt=x^{m-1}+\text{次数が }m-1\text{ 未満の項}$$ である。したがって左辺は$${\int }_x^{x+1}f(t)dt=A{x}^m+(B+{\displaystyle \frac{mA}{2}})x^{m-1}+\text{次数が }m-1\text{ 未満の項}$$となる。

一方，右辺は $$cf(x)=cA{x}^m+cB{x}^{m-1}+\text{次数が }m-1\text{ 未満の項}$$ である。まず $x^m$ の係数を比較すると，$A\mathrm{\ne }0$ より $c=1$ である。次に $x^{m-1}$ の係数を比較すると $$B+{\displaystyle \frac{mA}{2}}=B$$ となる。これは $m\geqq 1$，$A\mathrm{\ne }0$ に反する。よって $m\geqq 1$ はありえず，$m=0$ である。

したがって $f(x)$ は定数である。

与式を微分して差分方程式を作る。整式の最高次項と次の項を比較し、次数2以上を排除する。残る1次式は元の積分式へ代入して排除する。

$f$が零多項式なら結論は明らかである。以下、次数を$m\geqq 1$、最高次係数を$A\mathrm{\ne }0$とする。与式を$x$で微分すると$$f(x+1)-f(x)=c{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}$$左辺と右辺の$x^{m-1}$の係数はそれぞれ$mA$，$cmA$だから$c=1$である。

$m\geqq 2$とする。$$f(x)=A{x}^m+B{x}^{m-1}+\text{低次の項}$$と書けば、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x+1)-f(x)=}& {\displaystyle mA{x}^{m-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +\{{\displaystyle \frac{m(m-1)}{2}}A+(m-1)B\}{x}^{m-2}+\text{低次の項},}\end{array}$$一方、$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=mA{x}^{m-1}+(m-1)B{x}^{m-2}+\text{低次の項}\mathrm{.}$$係数比較から$${\displaystyle \frac{m(m-1)}{2}}A=0$$となり矛盾する。よって$m=1$だけが残る。

$f(x)=Ax+B$を元の式へ代入し、$c=1$を使うと$${\int }_x^{x+1}(At+B)dt=Ax+B+{\displaystyle \frac{A}{2}}=f(x)\mathrm{.}$$したがって$A=0$となり、1次式にもならない。以上より$f$は定数である。