京都大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第5問

積分を計算すると$${\int }_{-2}^2(x+2)f(x)dx=40+{\displaystyle \frac{32a}{3}}$$である。また$$4{\int }_c^{2}f(x)dx=4\{10+4a-c^3-a{c}^2-c\}$$である。したがって問題の等式は$$\begin{array}{cccc}& H(c)=c^3+a{c}^2+c-{\displaystyle \frac{4a}{3}}=0& & \text{(1)}\end{array}$$と同値である。

$H$ は連続であり、$$H(-2)={\displaystyle \frac{8a}{3}}-10,H(0)=-{\displaystyle \frac{4a}{3}},H(2)=10+{\displaystyle \frac{8a}{3}}$$である。

$a>0$ なら $H(0)<0<H(2)$ であるから、$0<c<2$ に (1) の解がある。$a<0$ なら $H(-2)<0<H(0)$ であるから、$-2<c<0$ に解がある。$a=0$ なら $c=0$ が解である。いずれの場合も $-2<c<2$ を満たす $c$ が存在する。

積分等式を $a$ について解き、$a$ を $c$ の連続関数として表す。その関数が $(-2\mathrm{/}\sqrt{3},2\mathrm{/}\sqrt{3})$ 上で全実数をとることを示す。

積分を整理すると、与式は$$c^3+a{c}^2+c-{\displaystyle \frac{4a}{3}}=0$$と同値である。これを $a$ について解けば$$\begin{array}{cccc}& a={\displaystyle \frac{3c(c^2+1)}{4-3c^2}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$$\varphi (c)={\displaystyle \frac{3c(c^2+1)}{4-3c^2}}$$とおく。$\varphi$ は区間$$-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}<c<{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$$で、$c=\pm 2\mathrm{/}\sqrt{3}$ を除き連続である。さらに$$\varphi (0)=0,\underset{c\to (2\mathrm{/}\sqrt{3})-}{\lim }\varphi (c)=+\mathrm{\infty },\underset{c\to (-2\mathrm{/}\sqrt{3})+}{\lim }\varphi (c)=-\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$したがって中間値の考えにより、任意の $a>0$ に対して
$0<c<2\mathrm{/}\sqrt{3}$ に $\varphi (c)=a$ となる点があり、
任意の $a<0$ に対して $-2\mathrm{/}\sqrt{3}<c<0$ にそのような点がある。
$a=0$ なら $c=0$ とすればよい。$$-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}<c<{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$$は $(-2,2)$ に含まれるので、どの実数 $a$ に対しても
$-2<c<2$ を満たす解 $c$ が存在する。