京都大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

位置ベクトルを点名と同じ文字で表す。三角形の重心より$$E={\displaystyle \frac{P+A+B}{3}},F={\displaystyle \frac{P+B+C}{3}},G={\displaystyle \frac{P+C+D}{3}},H={\displaystyle \frac{P+D+A}{3}}$$である。したがって$$\overrightarrow{EF}=F-E={\displaystyle \frac{C-A}{3}},\overrightarrow{FG}=G-F={\displaystyle \frac{D-B}{3}}$$である。同様に$$\overrightarrow{GH}={\displaystyle \frac{A-C}{3}}=-\overrightarrow{EF},\overrightarrow{HE}={\displaystyle \frac{B-D}{3}}=-\overrightarrow{FG}$$であるから，四辺形 $EFGH$ は平行四辺形である。

また，中点の定義から$$I={\displaystyle \frac{A+B}{2}},J={\displaystyle \frac{B+C}{2}},K={\displaystyle \frac{C+D}{2}},L={\displaystyle \frac{D+A}{2}}$$である。よって$$\overrightarrow{IJ}={\displaystyle \frac{C-A}{2}},\overrightarrow{JK}={\displaystyle \frac{D-B}{2}},$$$$\overrightarrow{KL}={\displaystyle \frac{A-C}{2}}=-\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{LI}={\displaystyle \frac{B-D}{2}}=-\overrightarrow{JK}$$となる。したがって $IJKL$ も平行四辺形である。

さらに対応する辺を比べると$$\overrightarrow{EF}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{FG}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{JK},$$$$\overrightarrow{GH}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{KL},\overrightarrow{HE}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{LI}$$である。よって問題文の意味で相似であり，$k={\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。

(2)

まず中点四辺形 $IJKL$ の面積を調べる。対角線 $AC$ を引くと，三角形 $ABC$ で $I,J$ はそれぞれ $AB,BC$ の中点なので $$IJ\parallel AC,IJ={\displaystyle \frac{1}{2}}AC$$ である。同様に三角形 $ADC$ で $$LK\parallel AC,LK={\displaystyle \frac{1}{2}}AC$$ である。したがって $IJKL$ は，底辺を $AC\mathrm{/}2$ とし，高さが三角形 $ABC$ と $ADC$ の高さの和の半分になる平行四辺形である。ゆえに $[IJKL]={\displaystyle \frac{1}{2}}[ABCD]$ である。

(1) より $EFGH$ と $IJKL$ の相似比は $2\mathrm{/}3$ なので，面積比は $${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2={\displaystyle \frac{4}{9}}$$ である。したがって $$[EFGH]={\displaystyle \frac{4}{9}}[IJKL]={\displaystyle \frac{4}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}[ABCD]={\displaystyle \frac{2}{9}}[ABCD]$$ となる。

よって求める面積の比は $[ABCD]:[EFGH]=9:2$ である。

辺の中点を結ぶ四辺形に対し、中心$P$、比$2\mathrm{/}3$の相似変換を考える。中点四辺形が平行四辺形で面積が元の半分であることと合わせる。

(1) (1) 中点$I,J,K,L$に対して$$\overrightarrow{PI}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}{2}}$$である。一方、三角形$PAB$の重心$E$について$$\overrightarrow{PE}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{PI}\mathrm{.}$$同様に$$\overrightarrow{PF}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{PJ},\overrightarrow{PG}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{PK},\overrightarrow{PH}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{PL}\mathrm{.}$$したがって、中心$P$、比$2\mathrm{/}3$の相似変換は$$I\mapsto E,J\mapsto F,K\mapsto G,L\mapsto H$$と移す。

中点連結定理により$$IJ\parallel AC,JK\parallel BD,KL\parallel AC,LI\parallel BD$$だから$IJKL$は平行四辺形である。相似変換の像$EFGH$も平行四辺形で、対応する有向辺はすべて$2\mathrm{/}3$倍となる。

(2) (2) また、中点四辺形の面積は元の凸四辺形の半分である。相似比の2乗を掛ければ$$[EFGH]={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2[IJKL]={\displaystyle \frac{4}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}[ABCD]={\displaystyle \frac{2}{9}}[ABCD]\mathrm{.}$$ゆえに$$[ABCD]:[EFGH]=9:2.$$