京都大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

$2n$ 回のうち偶数の目が出る回数を $X$ とする。1回のさいころ投げで偶数が出る確率は $1\mathrm{/}2$ なので $$P(X=k)={\displaystyle \frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_k}{2^{2n}}}$$ である。

奇数と偶数を入れ替える対応により，$X=k$ と $X=2n-k$ の確率は等しい。したがって $P(X>n)=P(X<n)$ であり，$1=P(X<n)+P(X=n)+P(X>n)$ から $$p_n=P(X\geqq n)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}P(X=n)$$ を得る。すなわち $$p_n={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{2^{2n}}}$$ である。

ここで $$r_n={\displaystyle \frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{2^{2n}}}$$ とおく。示したいことは $r_n\geqq 1\mathrm{/}(2n)$ である。まず $$r_1={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ なので成り立つ。次に$${\displaystyle \frac{r_{n+1}}{r_n}}={\displaystyle \frac{{}_{2n+2}{\mathrm{C}}_{n+1}}{2^{2n+2}}}\cdot {\displaystyle \frac{2^{2n}}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}}={\displaystyle \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1{)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2n+1}{2n+2}}$$である。$r_n\geqq 1\mathrm{/}(2n)$ と仮定すると $$r_{n+1}\geqq {\displaystyle \frac{1}{2n}}\cdot {\displaystyle \frac{2n+1}{2n+2}}$$ であり，右辺は $${\displaystyle \frac{2n+1}{2n(2n+2)}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{2n+2}}$$ を満たす。よって帰納法により，すべての自然数 $n$ で $r_n\geqq {\displaystyle \frac{1}{2n}}$ である。

したがって$$p_n={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{r}_n\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2n}}={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4n}}$$となる。これで示された。

二項分布の対称性で中央項を分離する。中央二項係数の下界は、$2n-1$個の集合の部分集合数を大きさ別に分け、最大の階級が平均以上であることから評価する。

偶数の目の回数を$X$とする。分布の対称性より$$p_n=\mathrm{Pr}(X\geqq n)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{Pr}(X=n)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{2^{2n}}}\mathrm{.}$$ここで${}_{2n-1}{\mathrm{C}}_k$は$k=n-1,n$で最大である。また$$\sum _{k=0}^{2n-1}{}_{2n-1}{\mathrm{C}}_k=2^{2n-1}$$で、項は$2n$個ある。最大項は平均以上だから$${}_{2n-1}{\mathrm{C}}_{n-1}\geqq {\displaystyle \frac{2^{2n-1}}{2n}}\mathrm{.}$$さらに$${}_{2n}{\mathrm{C}}_n=2{}_{2n-1}{\mathrm{C}}_{n-1}$$なので$${\displaystyle \frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{2^{2n}}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{2n}}\mathrm{.}$$したがって$$p_n\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4n}}\mathrm{.}$$