京都大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$$X={\displaystyle \frac{x}{2}},Y=y$$ とおく。このとき楕円 $${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$$ は単位円 $X^2+Y^2=1$ に変わる。また $E_1$ は第1象限の円弧，$E_2$ は第2象限の円弧に対応する。

この新しい座標での1次変換を $T$ とする。$T$ は第1象限の単位円弧全体を第2象限の単位円弧全体へ移す。したがって，$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ に対して $(\cos \theta ,\sin \theta )$ を移した点は，常に単位円上にある。つまり，$$\mathrm{\mid }T(\cos \theta ,\sin \theta ){\mathrm{\mid }}^2=1$$ が連続した範囲の $\theta$ で成り立つ。この左辺は $\cos \theta ,\sin \theta$ についての2次式なので，単位円上で長さを保つ変換とみなせる。よって第1象限の円弧の端点 $(1,0),(0,1)$ は，第2象限の円弧の端点 $(-1,0),(0,1)$ に対応する。

端点の対応は2通りである。

1つ目は $(1,0)\mapsto (-1,0),(0,1)\mapsto (0,1)$ の場合である。このとき $(X,Y)\mapsto (-X,Y)$ である。元の座標では $X=x\mathrm{/}2$，$Y=y$ だから $(x,y)\mapsto (-x,y)$ となる。したがって行列は$$\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$である。

2つ目は $(1,0)\mapsto (0,1),(0,1)\mapsto (-1,0)$ の場合である。このとき $(X,Y)\mapsto (-Y,X)$ である。元の座標へ戻すと，新しい座標は $$X^{\mathrm{\prime }}=-Y=-y,Y^{\mathrm{\prime }}=X={\displaystyle \frac{x}{2}}$$ なので $(x,y)\mapsto (-2y,{\displaystyle \frac{x}{2}})$ である。したがって行列は$$\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 1\mathrm{/}2& 0\end{array}\right)$$である。

以上より，求める1次変換は$${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),{\displaystyle \left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 1\mathrm{/}2& 0\end{array}\right)}}$$の2つである。

楕円を行列で単位円へ正規化する。円弧上で長さ1が保たれる条件を三角恒等式の係数比較で示し、直交変換の端点対応を全列挙する。

列ベクトル$z=(X,Y{)}^{\mathsf{T}}$に$$(x,y)=(2X,Y)$$を対応させる。元の1次変換を表す行列を$M$、正規化後の行列を$$T=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)M\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$とする。第1象限の単位円弧上の$$z_{\theta }=(\cos \theta ,\sin \theta {)}^{\mathsf{T}}(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$について$$\mid T{z}_{\theta }\mid =1$$である。

$T$の列ベクトルを$\mathit{u},\mathit{v}$とすれば$$\mid \mathit{u}{\mid }^2{\cos }^2\theta +2\mathit{u}\cdot \mathit{v}\sin \theta \cos \theta +\mid \mathit{v}{\mid }^2{\sin }^2\theta =1$$が区間全体で成り立つ。端点と$\theta =\pi \mathrm{/}4$を代入して$$\mid \mathit{u}\mid =\mid \mathit{v}\mid =1,\mathit{u}\cdot \mathit{v}=0.$$よって$T$は直交変換である。

第1象限円弧を第2象限円弧へ移す端点対応は$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle (1,0)}& {\displaystyle \mapsto (-1,0),}& {\displaystyle (0,1)}& {\displaystyle \mapsto (0,1),}\\ {\displaystyle \text{または}(1,0)}& {\displaystyle \mapsto (0,1),}& {\displaystyle (0,1)}& {\displaystyle \mapsto (-1,0)}\end{array}$$の2通りだけである。元の座標へ戻すと$$M=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),M=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$