京都大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
3の倍数の目は$3,6$の2通りなので，その確率は$1\mathrm{/}3$である。その他の目が出る確率は$2\mathrm{/}3$である。

赤い札が$A$にある状態から，次に赤い札が$A$に残ることはない。赤い札が$B$にあるとき，3の倍数が出れば$A$と$B$が交換して赤い札は$A$へ移り，その他の目なら$A$と$C$の交換なので赤い札は$B$に残る。赤い札が$C$にあるとき，その他の目なら赤い札は$A$へ移り，3の倍数なら$C$に残る。

したがって $${\displaystyle a_n={\displaystyle \frac{1}{3}}{b}_{n-1}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{c}_{n-1}}$$ であり，さらに $${\displaystyle b_n={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_{n-1}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{b}_{n-1}}$$ $${\displaystyle c_n={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{c}_{n-1}}$$ である。

(2)
初めは赤い札を$A$が持っているので $$a_0=1,b_0=0,c_0=0$$ である。また1回後には$A$は必ず赤い札を失うので $a_1=0$ である。

(1) の式から，$a_{n+2}$を$a_n$だけで表す。まず $$a_{n+2}={\displaystyle \frac{1}{3}}{b}_{n+1}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{c}_{n+1}$$ である。ここへ $$b_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_n+{\displaystyle \frac{2}{3}}{b}_n,c_{n+1}={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{c}_n$$ を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+2}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}({\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_n+{\displaystyle \frac{2}{3}}{b}_n)+{\displaystyle \frac{2}{3}}({\displaystyle \frac{2}{3}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{c}_n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5}{9}}{a}_n+{\displaystyle \frac{2}{9}}(b_n+c_n)}\end{array}$$である。常に$a_n+b_n+c_n=1$だから $$a_{n+2}={\displaystyle \frac{5}{9}}{a}_n+{\displaystyle \frac{2}{9}}(1-a_n)={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_n+{\displaystyle \frac{2}{9}}$$ となる。したがって $$a_{n+2}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(a_n-{\displaystyle \frac{1}{3}})$$ である。

偶数番目について，$u_m=a_{2m}-1\mathrm{/}3$とおくと $u_{m+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{u}_m$ であり，$$u_0=a_0-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。よって $$a_{2m}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3^m}}$$ なので $${\displaystyle a_{2m}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3^{m+1}}}(m=0,1,2,\dots )}$$ である。

奇数番目について，$v_m=a_{2m+1}-1\mathrm{/}3$とおくと同じく $v_{m+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{v}_m$ であり，$$v_0=a_1-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。したがって $$a_{2m+1}-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{3^{m+1}}}$$ となり，$${\displaystyle a_{2m+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3^{m+1}}}(m=0,1,2,\dots )}$$ を得る。

2回の交換を1組として、赤札が $A$ に戻る確率を現在位置ごとに求める。これにより $a_{n+2}$ の漸化式を直接作り、偶数列・奇数列を解く。

(1)
赤札の現在位置から次の位置を追えば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}{b}_{n-1}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{c}_{n-1},}\\ {\displaystyle b_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_{n-1}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{b}_{n-1},}\\ {\displaystyle c_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{c}_{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
2回後に赤札が $A$ にある確率を考える。
現在 $A$ にあるときは、$A\to B\to A$ または
$A\to C\to A$ だから$$\mathrm{Pr}(A\to A\text{ in 2 steps})={\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{5}{9}}\mathrm{.}$$現在 $B$ にあるときは $B\to B\to A$ の確率 $2\mathrm{/}9$、
現在 $C$ にあるときは $C\to C\to A$ の確率 $2\mathrm{/}9$ である。
したがって$$a_{n+2}={\displaystyle \frac{5}{9}}{a}_n+{\displaystyle \frac{2}{9}}(b_n+c_n)={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_n+{\displaystyle \frac{2}{9}}\mathrm{.}$$よって$$a_{n+2}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(a_n-{\displaystyle \frac{1}{3}})\mathrm{.}$$$a_0=1,a_1=0$ を用いると$$a_{2m}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3^{m+1}}},a_{2m+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3^{m+1}}}(m=0,1,2,\dots )\mathrm{.}$$