京都大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

$$\vec{s}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}$$ とおく。

(1) 各重心の位置ベクトルは$$\overrightarrow{O{A}_1}={\displaystyle \frac{\vec{s}-\vec{a}}{3}},\overrightarrow{O{B}_1}={\displaystyle \frac{\vec{s}-\vec{b}}{3}},\text{以下同様}$$である。点 $P_1$ を $$\overrightarrow{O{P}_1}=\vec{s}\mathrm{/}3$$ とすると$$\overrightarrow{P_1{A}_1}=-{\displaystyle \frac{\vec{a}}{3}},\overrightarrow{P_1{B}_1}=-{\displaystyle \frac{\vec{b}}{3}},\text{以下同様}$$であり、4本の長さは等しい。従って4点は中心 $P_1$ の同一円周上にあり、$$\overrightarrow{O{P}_1}={\displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3}}\mathrm{.}$$(2) 各段階でも4点の位置ベクトルの和は $\vec{s}$ のままである。中心の位置ベクトルを $${\vec{p}}_n=\overrightarrow{O{P}_n}$$、また ${\vec{p}}_0=\vec{0}$ とすると$${\vec{p}}_{n+1}={\displaystyle \frac{\vec{s}}{3}}-{\displaystyle \frac{{\vec{p}}_n}{3}}\mathrm{.}$$この漸化式を解くと$${\vec{p}}_n={\displaystyle \frac{\vec{s}}{4}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n\}\mathrm{.}$$よって$$\overrightarrow{P_n{P}_{n+1}}={\vec{p}}_{n+1}-{\vec{p}}_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{3^{n+1}}}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})\mathrm{.}$$(3) 上式から ${\vec{p}}_n\to \vec{s}\mathrm{/}4$ である。従って$$\overrightarrow{OQ}={\displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}}\mathrm{.}$$

4点の和を$\mathit{s}$とし、1回の重心操作を1つの相似変換$T(\mathit{x})=\mathit{s}\mathrm{/}3-\mathit{x}\mathrm{/}3$として捉える。固定点からの変位を反転しつつ3分の1にすることから、中心列と極限を一度に求める。

(1)
(1)$$\mathit{s}=\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}+\mathit{d}$$とおく。1回の操作で、たとえば$\mathit{a}$は$$T(\mathit{a})={\displaystyle \frac{\mathit{s}-\mathit{a}}{3}}$$へ移る。4点すべてに同じ相似変換$$T(\mathit{x})={\displaystyle \frac{\mathit{s}}{3}}-{\displaystyle \frac{\mathit{x}}{3}}$$が作用する。したがって原円の中心$\mathbf{0}$も$${\mathit{p}}_1=T(\mathbf{0})={\displaystyle \frac{\mathit{s}}{3}}$$へ移り、半径は$1\mathrm{/}3$倍になる。これで(1)が示される。

(2) (2) $T$の固定点$\mathit{q}$は$$\mathit{q}={\displaystyle \frac{\mathit{s}}{3}}-{\displaystyle \frac{\mathit{q}}{3}}$$より$$\mathit{q}=\mathit{s}\mathrm{/}4$$である。さらに$$T(\mathit{x})-\mathit{q}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}(\mathit{x}-\mathit{q})\mathrm{.}$$よって中心の位置ベクトルは$${\mathit{p}}_n=\mathit{q}+{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n(\mathbf{0}-\mathit{q})={\displaystyle \frac{\mathit{s}}{4}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^n\}\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{P_n{P}_{n+1}}={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{3^{n+1}}}\mathit{s}\mathrm{.}$$(3) 上式から$${\mathit{p}}_n\to \mathit{q}$$である。ゆえに$$\overrightarrow{OQ}={\displaystyle \frac{\mathit{s}}{4}}\mathrm{.}$$