京都大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x^2-a)$ である。$a\leqq 0$ では $f$ は単調増加で、相異なる3実根をもたない。$a>0$ では $$x=-\sqrt{a}$$ で極大値 $2a^{3\mathrm{/}2}$、$$x=\sqrt{a}$$ で極小値 $-2a^{3\mathrm{/}2}$ をとる。よって必要十分条件は$$a>0,\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<2a^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$(2) $a>0$ のとき、$f(u)=0$ の根は$$u=0,u=\sqrt{3a},u=-\sqrt{3a}$$である。したがって $f(f(x))=0$ が9個の相異なる実根をもつには、3つの方程式$$f(x)=0,f(x)=\sqrt{3a},f(x)=-\sqrt{3a}$$がそれぞれ相異なる3実根をもつことが必要十分である。(1)より$$\sqrt{3a}<2a^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$$a>0$ で割ると $a>\sqrt{3}\mathrm{/}2$ となる。3本の方程式の解集合は互いに交わらないので、求める範囲は$$a>{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$である。

$f$のグラフと水平線の交点数を図で整理する。合成方程式では外側の零点3個を水平線の高さとみなし、それぞれの逆像が3個ずつ得られる条件を課す。

(1) (1) $a\leqq 0$では$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x^2-a)\geqq 0$なので3交点は生じない。$a>0$では$$f(-\sqrt{a})=2a^{3\mathrm{/}2},f(\sqrt{a})=-2a^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$よって水平線$y=t$が3点で交わる条件は$$a>0,\mid t\mid <2a^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$(2) (2) また$f(u)=0$の3根は$$u=0,u=\pm \sqrt{3a}\mathrm{.}$$$f(f(x))=0$の解は、グラフと3本の水平線$$y=0,y=\sqrt{3a},y=-\sqrt{3a}$$との交点の$x$座標である。高さが異なるので3組の解は重ならない。各水平線が3交点をもつための条件は$$\sqrt{3a}<2a^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$$a>0$のもとで整理すると$$a>{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$等号では上下の水平線が極値で接して重解を生むため除く。