京都大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$を3で割った余りで見れば $$b_{n+2}\equiv b_{n+1}+b_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$ である。$b_n$は$0,1,2$のいずれかなので，順に計算すると$$\begin{array}{ccccccccccc}n& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ b_n& 1& 2& 0& 2& 2& 1& 0& 1& 1& 2\end{array}$$である。

(2)
(1)より $$(b_8,b_9)=(1,2)=(b_0,b_1)$$ である。余りの列は隣り合う2項で次が決まるから，これ以後も同じ並びが繰り返される。したがって $b_{n+8}=b_n$ がすべての$n$で成り立つ。

また $$c_7=b_0+b_1+\cdots +b_7=1+2+0+2+2+1+0+1=9$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle c_{n+8}}& {\displaystyle =b_0+b_1+\cdots +b_n+b_{n+1}+\cdots +b_{n+8}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =c_n+(b_{n+1}+\cdots +b_{n+8})}\end{array}$$であり，後ろの8項は1周期分の和だから$9=c_7$である。したがって $${\displaystyle c_{n+8}=c_n+c_7}$$ を得る。

(3) $c_n$は$b_0$から$b_n$までの$n+1$項の和である。そこで $$n+1=8q+r(q\geqq 0,0\leqq r<8)$$ と書く。8項1周期の和は9であるから，$q$周期分の和は$9q$である。

端数$r$項の和を$s_r$とすると，$s_r$は$$\begin{array}{ccccccccc}r& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ s_r& 0& 1& 3& 3& 5& 7& 8& 8\end{array}$$である。この表から各$r$について $$r\leqq s_r\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}r$$ が確かめられる。したがって $c_n=9q+s_r$ であり，下からは $$c_n=9q+s_r\geqq 8q+r=n+1$$ となる。上からは $$c_n=9q+s_r\leqq 12q+{\displaystyle \frac{3}{2}}r={\displaystyle \frac{3}{2}}(8q+r)={\displaystyle \frac{3}{2}}(n+1)$$ である。

よって $${\displaystyle n+1\leqq c_n\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}(n+1)}$$ が成り立つ。

余りの組を有限状態として巡回させ、8項周期を一周する図で確認する。和は「完全な周期」と「周期の先頭部分」に分けて評価する。

(1)
$v_n=(b_n,b_{n+1})$ とおく。法3で$$v_{n+1}=(b_{n+1},b_n+b_{n+1})$$であるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1,2)}& {\displaystyle \to (2,0)\to (0,2)\to (2,2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \to (2,1)\to (1,0)\to (0,1)\to (1,1)\to (1,2)}\end{array}$$となる。したがって$$(b_0,\dots ,b_9)=(1,2,0,2,2,1,0,1,1,2)\mathrm{.}$$(2)
最初の組 $(1,2)$ が8段後に初めて戻り、次の組は直前の組だけで決まるので$$b_{n+8}=b_n$$である。1周期の和は$$b_0+\cdots +b_7=9=c_7\mathrm{.}$$よって、どこから連続8項をとっても和は9であり、$$c_{n+8}-c_n=b_{n+1}+\cdots +b_{n+8}=c_7\mathrm{.}$$(3)
$n+1=8q+r(0\leqq r<8)$ とする。周期の先頭 $r$ 項の和を
$s_r$ とすれば$$\begin{array}{ccccccccc}r& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ s_r& 0& 1& 3& 3& 5& 7& 8& 8\end{array}$$である。表から $r\leqq s_r\leqq 3r\mathrm{/}2$ であり、$$c_n=9q+s_r\mathrm{.}$$したがって$$8q+r\leqq c_n\leqq 12q+{\displaystyle \frac{3}{2}}r,$$すなわち$$n+1\leqq c_n\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}(n+1)$$となる。