京都大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

点$P(a,b,c)$が$S_1$上にある条件は $a^2+b^2+(c-1{)}^2=1$ であり，$S_2$上にある条件は $a^2+(b-1{)}^2+c^2=1$ である。両式を引くと $$b^2+(c-1{)}^2-(b-1{)}^2-c^2=0$$ となる。これを整理すると $-2c+2b=0$ であるから $b=c$ を得る。

この値を球面条件へ戻すと $a^2+b^2+(b-1{)}^2=1$ であり，すなわち $a^2+2b^2-2b=0$ である。

次に，点$P(a,b,c)$から平面$x-z=0$までの距離を$d$とすると $$d={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }a-c\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}}$$ である。半径$1\mathrm{/}2$の球を，中心から距離$d$の平面で切った円の半径が$\sqrt{2}\mathrm{/}4$であるから，直角三角形の関係より $${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2=d^2+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)}^2$$ となる。したがって $$d^2={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ であり，$${\displaystyle \frac{(a-c{)}^2}{2}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ だから $\mathrm{\mid }a-c\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

すでに$c=b$なので $\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。場合に分ける。 $a-b=1\mathrm{/}2$，すなわち$a=b+1\mathrm{/}2$のとき，$${(b+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+2b^2-2b=0$$ より $3b^2-b+{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$ となる。この判別式は $$(-1{)}^2-4\cdot 3\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}=-2$$ なので実数解をもたない。 $a-b=-1\mathrm{/}2$，すなわち$a=b-1\mathrm{/}2$のとき，$${(b-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+2b^2-2b=0$$ より $3b^2-3b+{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$ となる。これを解くと $$b={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{6}}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}$$ である。さらに$a=b-1\mathrm{/}2$，$c=b$だから$$(a,b,c)=({\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}})$$または$$(a,b,c)=(-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}})$$である。

よって求める値は$${\displaystyle ({\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}),(-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}})}$$である。

2球面の交円を含む平面と、切断円の条件から得る2平面を先に求める。各候補平面と交円の交点を連立し、解の有無を幾何的に判定する。

2球面の方程式の差から、その交円は平面$$b=c$$上にある。この平面上で球面方程式を整理すると$$\begin{array}{cccc}& a^2+2{(b-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$一方、$S_0$ の半径は $1\mathrm{/}2$、切断円の半径は $\sqrt{2}\mathrm{/}4$ である。
したがって中心 $P$ と平面 $x-z=0$ の距離は$$\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}\mathrm{.}$$点 $(a,b,b)$ とこの平面の距離は $\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }\mathrm{/}\sqrt{2}$ だから$$\begin{array}{cccc}& \mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$$a=b+1\mathrm{/}2$ を (1) に代入すると$$3b^2-b+{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$$となり、判別式が $-2$ なので交点はない。
$a=b-1\mathrm{/}2$ を代入すると$$3b^2-3b+{\displaystyle \frac{1}{4}}=0,$$よって$$b={\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\mathrm{.}$$$a=b-1\mathrm{/}2,c=b$ を戻せば$$(a,b,c)=({\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}})$$または$$(a,b,c)=(-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}})\mathrm{.}$$