京都大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$B=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$$とおく。このとき$$AB=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x+z& y+w\\ 2x& 2y\end{array}\right)$$であり，$$BA=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x+2y& x\\ z+2w& z\end{array}\right)$$である。$AB=BA$より成分を比べると $z=2y,x=y+w$ を得る。ほかの成分の等式はこの2式から従う。

したがって$$B=\left(\begin{array}{cc}w+y& y\\ 2y& w\end{array}\right)=y\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right)+w\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=yA+wE$$である。よって$p=y$，$q=w$とすれば，$B=pA+qE$と表せる。

(2)
(1)より，ある実数$p,q,r,s$を用いて $B=pA+qE,C=rA+sE$ と書ける。$E$は単位行列なので，$AE=EA=A$，$E^2=E$である。よって $$BC=(pA+qE)(rA+sE)=pr{A}^2+(ps+qr)A+qsE$$ であり，同じ計算で $$CB=(rA+sE)(pA+qE)=rp{A}^2+(rq+sp)A+sqE$$ となる。右辺は一致するから $BC=CB$ である。

(3)
(1)より $B=pA+qE$ と書ける。まず$$A^2={\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)=A+2E$$である。したがって $$B^2=(pA+qE{)}^2=p^2{A}^2+2pqA+q^{2}E$$ より $$B^2=(p^2+2pq)A+(2p^2+q^2)E$$ となる。

ここで$A$と$E$は一次独立である。実際，$\alpha A+\beta E=O$なら，非対角成分から$\alpha =0$，さらに対角成分から$\beta =0$である。よって$B^2=E$となるための条件は $$p^2+2pq=0,2p^2+q^2=1$$ である。

第1式は $p(p+2q)=0$ である。 $p=0$のとき，第2式より$q^2=1$なので $(p,q)=(0,1),(0,-1)$ である。 $p=-2q$のとき，第2式より $2(-2q{)}^2+q^2=9q^2=1$ なので $$q=\pm {\displaystyle \frac{1}{3}},p=\mp {\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。したがって $$(p,q)=({\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}}),(-{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$$ を得る。

以上より求める行列は$${\displaystyle B=E,B=-E,B={\displaystyle \frac{2A-E}{3}},B={\displaystyle \frac{-2A+E}{3}}}$$である。これらは上の$(p,q)$の4組から得られており，いずれも$AB=BA$かつ$B^2=E$を満たす。

$A$ の2つの固有方向を基底に選ぶ。可換する行列は各固有方向を保つので対角化され、(1)(2)(3)を同じ対角成分の計算で処理する。

(1)
$A$ の固有値は$$\det (A-\lambda E)=(1-\lambda )(-\lambda )-2=(\lambda -2)(\lambda +1)$$より $2,-1$ である。それぞれの固有ベクトルとして$$\mathit{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\mathit{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$$をとる。

$AB=BA$ とする。$$A\mathit{u}=2\mathit{u}$$ だから$$A(B\mathit{u})=B(A\mathit{u})=2B\mathit{u}\mathrm{.}$$したがって $B\mathit{u}$ も固有値2の固有方向にあり、$$B\mathit{u}=\alpha \mathit{u}$$ と書ける。同様に$$B\mathit{v}=\beta \mathit{v}$$ と書ける。$$p={\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{3}},q={\displaystyle \frac{\alpha +2\beta }{3}}$$とおけば$$2p+q=\alpha ,-p+q=\beta \mathrm{.}$$ゆえに $pA+qE$ は $\mathit{u},\mathit{v}$ 上で $B$ と同じ作用をする。
この2ベクトルは一次独立だから$$B=pA+qE$$である。

(2)
$B,C$ は上の基底でともに対角行列となる。対角行列どうしは可換だから$$BC=CB$$である。

(3)
同じ基底で $B$ の対角成分を $\alpha ,\beta$ とすれば、
$B^2=E$ は$${\alpha }^2={\beta }^2=1$$と同値である。4通りの $(\alpha ,\beta )$ を上の $p,q$ に戻すと$$B=E,-E,{\displaystyle \frac{2A-E}{3}},{\displaystyle \frac{-2A+E}{3}}$$を得る。