京都大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$f$ で移った点を $(x,y)$ とする。行列$$\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$$は元の点 $(X,Y)$ を $(x,y)=(X-Y,Y)$ に移すので、逆に $(X,Y)=(x+y,y)$ である。したがって $C$ の方程式は $${\displaystyle \frac{(x+y{)}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$ である。

また、点 $(1,1)$ が $E$ 上にあるから $${\displaystyle \frac{1}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{b^2}}=1$$ である。以下 $$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{a^2}},\beta ={\displaystyle \frac{1}{b^2}}$$ とおくと、$\alpha +\beta =1$ である。

(1) $x=t$ を $C$ の方程式に代入すると $$\alpha (t+y{)}^2+\beta y^2=1$$ である。$\alpha +\beta =1$ を用いて整理すると $$y^2+2\alpha ty+\alpha t^2-1=0$$ となる。これは $y$ についての二次方程式であり、その判別式は $${\mathrm{\Delta }}_y=(2\alpha t{)}^2-4(\alpha t^2-1)=4(1-\alpha \beta t^2)$$ である。

ここで $\alpha ,\beta >0$ かつ $\alpha +\beta =1$ だから $$\alpha \beta \leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。$\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<2$ より $\alpha \beta t^2<1$ となるので、${\mathrm{\Delta }}_y>0$ である。したがって直線 $x=t$ は $C$ と異なる2点で交わる。

(2)

(1) の2点を $$A_i=(t,y_i)(i=1,2)$$ とおく。$y=y_i$ として $C$ との交点を調べると $$\alpha (x+y_i{)}^2+\beta y_i^2=1$$ である。これは $x$ についての二次方程式で、解の一つは $x=t$ である。解の和は $-2y_i$ だから、もう一つの解は $-2y_i-t$ である。よって同じ $y$ 座標をもつもう一つの点は $B_i=(-t-2y_i,y_i)$ である。

この点が $A_i$ と一致するのは $-t-2y_i=t$ すなわち $y_i=-t$ のときである。これを $x=t$ の方程式に代入すると $$\alpha (t-t{)}^2+\beta t^2=1$$ より $t^2=b^2$ となる。いま $t^2\mathrm{\ne }{b}^2$ であるから、$B_i\mathrm{\ne }{A}_i$ がいえる。

さらに $y_1\mathrm{\ne }{y}_2$ であるから $A_1{A}_2=\mathrm{\mid }{y}_1-y_2\mathrm{\mid }$ である。一方 $$B_1-B_2=(-2(y_1-y_2),y_1-y_2)$$ なので $$B_1{B}_2=\sqrt{4(y_1-y_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}=\sqrt{5}\mathrm{\mid }{y}_1-y_2\mathrm{\mid }$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{B_1{B}_2}{A_1{A}_2}}=\sqrt{5}$$ である。

せん断後の楕円と2本の弦

変換後の楕円上で、同じ $y$ 座標をもつ相手の点を与える一次写像
$T(x,y)=(-x-2y,y)$ を作る。縦の弦 $A_1{A}_2$ にこの写像を作用させ、
差ベクトルの長さの変化から比を直接読む。

$$\alpha =1\mathrm{/}{a}^2,\beta =1\mathrm{/}{b}^2$$ とおく。点 $(1,1)$ が $E$ 上だから$$\alpha +\beta =1.$$せん断後の集合 $C$ は$$\alpha (x+y{)}^2+\beta y^2=1$$で表される。

(1)

$x=t$ を代入すると$$y^2+2\alpha ty+\alpha t^2-1=0.$$判別式は$$4(1-\alpha \beta t^2)$$である。$\alpha \beta \leqq 1\mathrm{/}4$ かつ $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<2$ より正なので、
相異なる2交点 $A_1,A_2$ をもつ。

(2)

$C$ の方程式を $x$ の二次方程式とみると、同じ $y$ に対する
2つの $x$ 座標の和は $-2y$ である。したがって$$T(x,y)=(-x-2y,y)$$は $C$ 上の点を、同じ $y$ 座標をもつもう一つの点へ移す。
$A_i=(t,y_i)$ とすれば $B_i=T(A_i)$ である。

$T(A_i)=A_i$ となるのは $y_i=-t$ のときであり、これを
$C$ の式へ代入すると $\beta t^2=1$、すなわち $t^2=b^2$
となる。仮定により $B_i\mathrm{\ne }{A}_i$ である。

最後に$$\overrightarrow{A_1{A}_2}=(0,y_2-y_1),$$$$\overrightarrow{B_1{B}_2}=(-2(y_2-y_1),y_2-y_1)\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{B_1{B}_2}{A_1{A}_2}}=\sqrt{(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{5}\mathrm{.}$$