京都大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$P=(x,y)$ とおく。行列の作用より $$Q=(ax+by,ay),R=(ax+by,0)$$ である。したがって$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OR}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }ax+by\mathrm{\mid }}{\sqrt{x^2+y^2}}}$$である。

任意の $(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)$ に対して $$\mathrm{\mid }ax+by\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{x^2+y^2}$$ であり、$(x,y)$ を $(a,b)$ と同じ向きにとれば等号が成り立つ。よって最初の条件から $a^2+b^2=4$ を得る。

次に$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}{\mathrm{\mid }}^2}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2}}={\displaystyle \frac{(ax+by{)}^2+a^2{y}^2}{x^2+y^2}}$$を考える。この値を $\lambda$ とすると、ある $(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)$ でその値をとることは $$(a^2-\lambda )x^2+2abxy+(a^2+b^2-\lambda )y^2=0$$ が $(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)$ を解にもつことを意味する。端の値ではこの二次式がちょうど接するので $$(a^2-\lambda )(a^2+b^2-\lambda )-a^2{b}^2=0$$ となる。整理すると $${\lambda }^2-(2a^2+b^2)\lambda +a^4=0$$ である。

この二次方程式の大きい根を $M$、小さい根を $m$ とすれば、$\mathrm{\mid }OQ{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{/}\mathrm{\mid }OP{\mathrm{\mid }}^2$ の最大値と最小値がそれぞれ $M,m$ である。問題文では $\mathrm{\mid }OQ\mathrm{\mid }\mathrm{/}\mathrm{\mid }OP\mathrm{\mid }$ の最大値と最小値の比が $3$ なので $${\displaystyle \frac{M}{m}}=9$$ すなわち $M=9m$ である。また根と係数の関係より $$M+m=2a^2+b^2,Mm=a^4$$ である。したがって $$10m=2a^2+b^2,9m^2=a^4$$ であり、最小値は正だから $m=a^2\mathrm{/}3$ である。よって $${\displaystyle \frac{10a^2}{3}}=2a^2+b^2$$ となる。

これと $a^2+b^2=4$ を連立して $$a^2={\displaystyle \frac{12}{7}},b^2={\displaystyle \frac{16}{7}}$$ を得る。条件は $a,b$ の符号を変えても変わらないので $$a=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{12}{7}}},b=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{16}{7}}}$$ である。符号はそれぞれ独立に選べる。

単位円の像と $x$ 軸への射影

$P$ を単位円上に置き、$\mathrm{\mid }OQ{\mathrm{\mid }}^2$ を $2\theta$ の三角関数に直す。
最大値と最小値は「中心値±振幅」となるので、比が3という条件を振幅と
中心値の比へ変換する。最初の条件 $a^2+b^2=4$ と連立する。

$$P=(\cos \theta ,\sin \theta )$$ としてよい。まず$$\mathrm{\mid }OR\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }a\cos \theta +b\sin \theta \mathrm{\mid }$$の最大値は $\sqrt{a^2+b^2}$ だから$$a^2+b^2=4$$である。

一方$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }OQ{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =(a\cos \theta +b\sin \theta {)}^2+a^2{\sin }^2\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2+{\displaystyle \frac{b^2}{2}}-{\displaystyle \frac{b^2}{2}}\cos 2\theta +ab\sin 2\theta \mathrm{.}}\end{array}$$よって $\mathrm{\mid }OQ{\mathrm{\mid }}^2$ の最大値・最小値は$$C+R,C-R,$$ただし$$C=a^2+{\displaystyle \frac{b^2}{2}},R=\sqrt{{\displaystyle \frac{b^4}{4}}+a^2{b}^2}$$である。長さの最大値と最小値の比が3なので$${\displaystyle \frac{C+R}{C-R}}=9,R={\displaystyle \frac{4}{5}}C\mathrm{.}$$$s=a^2$ とおけば $b^2=4-s$ であり$$C=2+{\displaystyle \frac{s}{2}},R^2=(4-s)(1+{\displaystyle \frac{3s}{4}})\mathrm{.}$$したがって$$(4-s)(1+{\displaystyle \frac{3s}{4}})={\displaystyle \frac{16}{25}}{(2+{\displaystyle \frac{s}{2}})}^2\mathrm{.}$$整理すると$$91s^2-72s-144=(7s-12)(13s+12)=0.$$$s\geqq 0$ より $s=12\mathrm{/}7$ である。ゆえに$$a^2={\displaystyle \frac{12}{7}},b^2={\displaystyle \frac{16}{7}}\mathrm{.}$$条件は符号に依存しないため$$a=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{12}{7}}},b=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{16}{7}}}$$であり、2つの符号は独立に選べる。