京都大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $$P\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\mathbf{0}$$なら$$u\mathit{x}+v\mathit{y}=\mathbf{0}$$である。$\mathit{x},\mathit{y}$は一次独立なので$u=v=0$。従って$P$の核は零ベクトルだけであり、$P$は逆行列をもつ。
(2)
$B$が任意の$\mathit{x}$をその実数倍へ移すなら$B$はスカラー行列になる。従って$\mathit{x}$と$$\mathit{y}=B\mathit{x}$$が一次独立となる$\mathit{x}$を選べる。(1)より、この2本を列にもつ$P$は可逆である。また$$B^2=(p^2+bc)E\mathrm{.}$$よって$$B\mathit{x}=\mathit{y}$$、$$B\mathit{y}=(p^2+bc)\mathit{x}$$であり、基底$\mathit{x},\mathit{y}$に関する表現行列は$$P^{-1}BP=\left(\begin{array}{cc}0& p^2+bc\\ 1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$(3)
共通の跡を$t$とし$$B=A-{\displaystyle \frac{t}{2}}E,B^{\mathrm{\prime }}=A^{\mathrm{\prime }}-{\displaystyle \frac{t}{2}}E$$とおく。両者は跡0で、スカラー行列ではない。2次行列の固有方程式から$$B^2=({\displaystyle \frac{t^2}{4}}-\det A)E,{B^{\mathrm{\prime }}}^2=({\displaystyle \frac{t^2}{4}}-\det A^{\mathrm{\prime }})E\mathrm{.}$$行列式が等しいので右辺の係数は共通である。(2)により可逆行列$P_1,P_2$を選び、$$P_1^{-1}B{P}_1=P_2^{-1}{B}^{\mathrm{\prime }}{P}_2$$とできる。従って$P=P_1{P}_2^{-1}$とおけば$$P^{-1}AP=A^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$基底 $(\mathit{x},B\mathit{x})$ での作用

(2) では $\mathit{x}$ を成分ごとに具体的に選び、
$\mathit{x},B\mathit{x}$ が一次独立となることを確認する。
この基底での作用を列ごとに読み、(3)は跡の半分を引いた共通標準形へ帰着する。

(1)

$P(u,v{)}^T=\mathbf{0}$ なら$$u\mathit{x}+v\mathit{y}=\mathbf{0}$$ である。
2ベクトルは一次独立だから $u=v=0$。よって $P$ は可逆である。

(2)

$c\mathrm{\ne }0$ なら $\mathit{x}=(1,0{)}^T$、
$c=0,b\mathrm{\ne }0$ なら $\mathit{x}=(0,1{)}^T$ を選ぶ。
$b=c=0$ なら非スカラー性より $p\mathrm{\ne }0$ なので
$\mathit{x}=(1,1{)}^T$ を選ぶ。いずれも
$\mathit{x}$ と$$\mathit{y}=B\mathit{x}$$は一次独立である。

また直接計算で$$B^2=(p^2+bc)I\mathrm{.}$$したがって$$B\mathit{x}=\mathit{y},B\mathit{y}=(p^2+bc)\mathit{x}\mathrm{.}$$$$P=(\mathit{x}\mathit{y})$$ とすれば、列ごとの座標から$$P^{-1}BP=\left(\begin{array}{cc}0& p^2+bc\\ 1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$(3)

共通の跡を $t$ とし$$B=A-{\displaystyle \frac{t}{2}}I,B^{\mathrm{\prime }}=A^{\mathrm{\prime }}-{\displaystyle \frac{t}{2}}I$$とおく。両者は跡0の非スカラー行列であり$$B^2=({\displaystyle \frac{t^2}{4}}-\det A)I,{B^{\mathrm{\prime }}}^2=({\displaystyle \frac{t^2}{4}}-\det A^{\mathrm{\prime }})I\mathrm{.}$$行列式も等しいから、(2)により同じ標準形 $J$ へ移せる。$$P_1^{-1}B{P}_1=J=P_2^{-1}{B}^{\mathrm{\prime }}{P}_2\mathrm{.}$$$P=P_1{P}_2^{-1}$ とおけば$$P^{-1}AP=A^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$