京都大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第5問

(1)
分母を払うと$$b(p^2+q^2)=apq$$である。従って$b\mid apq$であり、$\gcd (a,b)=1$だからユークリッドの補題により$$b\mid pq$$である。

(2)
$d=\gcd (p,q)$とし$$p=dr,q=ds,\gcd (r,s)=1$$とおく。元の等式から$$b(r^2+s^2)=ars\mathrm{.}$$ここで$\gcd (rs,r^2+s^2)=1$である。実際、素数$\mathrm{\ell }$が両者を割るなら、$\mathrm{\ell }\mid r$または$\mathrm{\ell }\mid s$である。例えば$\mathrm{\ell }\mid r$なら$\mathrm{\ell }\mid r^2+s^2$より$\mathrm{\ell }\mid s^2$、従って$\mathrm{\ell }\mid s$となり、$\gcd (r,s)=1$に反する。

従って$${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{r^2+s^2}{rs}}$$は右辺も既約分数である。左辺も$\gcd (a,b)=1$により既約だから$$a=r^2+s^2,b=rs\mathrm{.}$$よって$$a+2b=r^2+2rs+s^2=(r+s{)}^2\mathrm{.}$$$r+s$は自然数なので$$\sqrt{a+2b}=r+s$$も自然数である。

$p,q$ の最大公約数を除いた互いに素な2数について、積と平方和が互いに素であることを素因数ごとに示す。既約比の一意性から $a,b$ を同定して完全平方を得る。

(1) $$b(p^2+q^2)=apq\mathrm{.}$$$\gcd (a,b)=1$ だから、$b\mid apq$ にユークリッドの補題を用いて$$b\mid pq\mathrm{.}$$(2)
$d=\gcd (p,q)$ とし、$$p=dr,q=ds,\gcd (r,s)=1$$とおく。等式は$$b(r^2+s^2)=ars$$となる。

$rs$ と $r^2+s^2$ は互いに素である。実際、両方を割る素数があれば、その素数は $r,s$ の一方を割り、平方和から他方も割ることになって $\gcd (r,s)=1$ に反する。

従って$${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{r^2+s^2}{rs}}$$は両辺とも既約分数である。正の分子・分母の一意性より$$a=r^2+s^2,b=rs\mathrm{.}$$よって$$a+2b=(r+s{)}^2$$であり、$$\sqrt{a+2b}=r+s$$は自然数である。