京都大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1)
$f(\alpha )=0$を$p$を法として考えると$${\alpha }^n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$$p$は素数なので$p$は$\alpha$を割る。
(2)
整数解$\alpha$があると仮定する。(1)より$\alpha =p\beta$と書ける。これを$f(\alpha )=0$に代入して$p$で割ると$$p^{n-1}{\beta }^n+p^{n-1}{a}_{n-1}{\beta }^{n-1}+\cdots +p{a}_1\beta +a_0=0.$$左辺の$a_0$以外はすべて$p$で割り切れるので、$a_0$も$p$で割り切れる。これは仮定に反する。従って整数解はない。

整数根 $\alpha$ を仮定し、まず方程式を法 $p$ で見る。
次に $\alpha =p\beta$ を代入した式をもう一度法 $p$ で見れば、
定数項の条件と直ちに矛盾する。

(1)

$f(\alpha )=0$ を法 $p$ で考えると$${\alpha }^n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$$p$ は素数であるから、$p\nmid \alpha$ なら
${\alpha }^n\equiv ̸0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ となる。したがって$$p\mid \alpha \mathrm{.}$$(2)

整数根があると仮定し、(1)により $\alpha =p\beta$ と書く。$$0=f(p\beta )=p^n{\beta }^n+p^n{a}_{n-1}{\beta }^{n-1}+\cdots +p^2{a}_1\beta +p{a}_0\mathrm{.}$$両辺を $p$ で割り、さらに法 $p$ で見ると$$a_0\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$これは $p\nmid a_0$ に反する。よって整数解は存在しない。