京都大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第5問

$B$の最初の手で0を引く確率は$1\mathrm{/}4$で、このとき一致は起こらない。続いて$A$が$B$から0を引く確率は$1\mathrm{/}4$である。この枝では両者の手札が初期状態へ戻った形になり、$B$の第2回で0を引けば$X=0$、1,2,3を引けば$X=1$である。従って$$P(X=0)={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{64}},P(X=1)={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{3}{64}}\mathrm{.}$$最初に$B$が0を引き、次に$A$が1,2,3のいずれかを引く確率は$(1\mathrm{/}4)(3\mathrm{/}4)$である。このとき$A$の手で1組、次の$B$の手でも必ず1組が一致するので$X=2$。
一方、最初に$B$が1,2,3のいずれかを引く確率は$3\mathrm{/}4$で、直ちに1組を捨てる。次の$A$の手でも必ず1組を捨てる。その後$B$が持札0を引く確率と残る共通番号を引く確率は各$1\mathrm{/}2$なので、$X=2,3$が各確率$1\mathrm{/}2$で生じる。従って$$P(X=2)={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{9}{16}},P(X=3)={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{8}}\mathrm{.}$$以上より分布は$$\begin{array}{ccccc}x& 0& 1& 2& 3\\ P(X=x)& 1\mathrm{/}64& 3\mathrm{/}64& 9\mathrm{/}16& 3\mathrm{/}8\end{array}$$である。4確率の和は1になる。

最初の2手による確率木

最初の $B$ の手、次の $A$ の手、2回目の $B$ の手を
「0を引くか正番号を引くか」で確率木にする。各葉で成立した
一致組数を数え、同じ $X$ の葉を合算する。

最初に $B$ が0を引く確率は $1\mathrm{/}4$ である。このとき
$A$ が0を引く確率も $1\mathrm{/}4$ で、状態は最初と同じ形へ戻る。
2回目の $B$ が0または正番号を引く確率はそれぞれ $1\mathrm{/}4,3\mathrm{/}4$
だから$$\mathrm{Pr}(X=0)={\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{64}},$$$$\mathrm{Pr}(X=1)={\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{3}{64}}\mathrm{.}$$最初に $B$ が0、続いて $A$ が正番号を引く確率は$${\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$$A$ の手で1組を捨て、次の $B$ の手でも残る正番号の1組を
必ず捨てるので、この枝では $X=2$ である。

最初に $B$ が正番号を引く確率は $3\mathrm{/}4$ である。直ちに1組を捨て、
次の $A$ の手でも必ず1組を捨てる。その後、$B$ は0と
残る共通番号をそれぞれ確率 $1\mathrm{/}2$ で引く。よってこの枝では
$X=2,3$ が各確率 $1\mathrm{/}2$ で生じる。

したがって$$\mathrm{Pr}(X=2)={\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{9}{16}},$$$$\mathrm{Pr}(X=3)={\displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{8}}\mathrm{.}$$求める分布は$$\begin{array}{ccccc}x& 0& 1& 2& 3\\ \mathrm{Pr}(X=x)& {\displaystyle \frac{1}{64}}& {\displaystyle \frac{3}{64}}& {\displaystyle \frac{9}{16}}& {\displaystyle \frac{3}{8}}\end{array}$$であり、確率の和は1である。