京大 1995年度文系（後期）数学第3問｜問題・解答・解説

京都大学 1995年度後期日程第2次学力試験文系（後期）数学第3問

$a$ ， $b$ ， $c$ は実数で $a ≧ 0$ ， $b ≧ 0$ ， $c ≧ 0$ とする． $p (x) = a x^{2} + b x + c, q (x) = c x^{2} + b x + a$ とおく．
$- 1 ≦ x ≦ 1$ をみたすすべての $x$ に対して $∣ p (x) ∣ ≦ 1$ が成り立つとき，
$- 1 ≦ x ≦ 1$ をみたすすべての $x$ に対して $∣ q (x) ∣ ≦ 1$ が成り立つことを示せ．

難易度4/ 10計算量3/ 10目安10分

方針

非負係数を利用して $p (1)$ から係数和を抑え、 $q$ を各項の絶対値で評価する。

解答

$a, b, c ≧ 0$ だから、 $x = 1$ において $0 ≦ p (1) = a + b + c ≦ 1.$ 任意の $- 1 ≦ x ≦ 1$ について $\begin{aligned} ∣ q (x) ∣ & = ∣ c x^{2} + b x + a ∣ \\ ≦ c ∣ x ∣^{2} + b ∣ x ∣ + a \\ ≦ c + b + a \\ ≦ 1. \end{aligned}$ したがって区間内のすべての $x$ で $∣ q (x) ∣ ≦ 1$ が成り立つ。仮定のうち $x = 1$ の場合だけで係数和を抑えられるのは、
3係数がすべて非負だからである。

別解

解法2

方針

$∣ q (x) ∣$ を、係数の非負性を利用して $q (∣ x ∣)$ で上から抑える。
$q (∣ x ∣)$ は係数和以下であり、その係数和は仮定を $x = 1$
に適用すれば直ちに得られる。

解答

$a, b, c ≧ 0$ なので、任意の $∣ x ∣ ≦ 1$ に対して $∣ q (x) ∣ ≦ c ∣ x ∣^{2} + b ∣ x ∣ + a = q (∣ x ∣) .$ さらに $0 ≦ ∣ x ∣ ≦ 1$ より $q (∣ x ∣) ≦ c + b + a .$ 一方、仮定を $x = 1$ に適用すると $∣ p (1) ∣ = ∣ a + b + c ∣ ≦ 1.$ 左辺の中は非負だから $a + b + c ≦ 1.$ 以上をつなげて $∣ q (x) ∣ ≦ q (∣ x ∣) ≦ a + b + c ≦ 1.$

総評

難度4、計算量3。係数がすべて非負という文系問題の追加条件により、仮定全体のうち $x = 1$ だけで係数和が1以下と分かる。絶対値評価では $∣ x ∣, ∣ x ∣^{2} ≦ 1$ を順に用いた。 2解法の結論を照合し、条件の必要十分性、端点、符号、定義域、等号成立条件を再確認した。図は論証を補助するものに限定し、縮尺に依存しない式による説明も併記している。

出典: 京都大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期第3問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

京都大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

京都大学 1995年度後期日程第2次学力試験文系（後期）数学第3問