京都大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

まず (イ) を仮定する。$n$ が$60$の倍数なら、$1,2,3,4,5,6$ はすべて$n$の約数である。また、$1$から$6$までの自然数でこれ以外に挟まる数はないから、約数を小さい順に並べると $$a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4,a_5=5,a_6=6$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{1}{a_3}}+{\displaystyle \frac{1}{a_6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{a_2}}$$ となり、(ロ) が成り立つ。

次に (ロ) を仮定する。$a_2$ は$n$の$1$より大きい最小の約数である。もし$a_2$が合成数なら、その$1$より大きい真の約数も$n$を割り、$a_2$より小さい約数になってしまう。よって$a_2$は素数である。そこで $p=a_2$ とおく。

条件 $${\displaystyle \frac{1}{a_3}}+{\displaystyle \frac{1}{a_6}}={\displaystyle \frac{1}{p}}$$ を整理する。両辺に$p{a}_3{a}_6$を掛けて $p(a_3+a_6)=a_3{a}_6$ を得る。これを移項して $a_3{a}_6-p{a}_3-p{a}_6=0$ すなわち $(a_3-p)(a_6-p)=p^2$ である。

約数は小さい順に並んでいるので $p=a_2<a_3<a_6$ であり、したがって $0<a_3-p<a_6-p$ である。$p$は素数だから、$p^2$の正の因数の組は$(1,p^2)$または$(p,p)$である。ここでは2つの因数が等しくないので $$a_3-p=1,a_6-p=p^2$$ でなければならない。よって $a_3=p+1$ である。

もし$p\geqq 3$なら、$p$は奇素数であるから$p+1$は偶数である。ところが$a_3=p+1$は$n$の約数なので、$n$は偶数となり、$2$が$n$の約数になる。これは$p=a_2$が$1$より大きい最小の約数であることに反する。したがって $p=2$ である。

これより $$a_2=2,(a_3-2)(a_6-2)=4$$ かつ$a_3-2<a_6-2$であるから $a_3=3,a_6=6$ である。$a_4,a_5$は$3$より大きく$6$より小さい$n$の約数なので、自然数としては $a_4=4,a_5=5$ しかない。したがって$2,3,4,5$はすべて$n$の約数である。

よって$n$は $$\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(2,3,4,5)=60$$ の倍数である。以上により、(イ) と (ロ) は互いに同値である。

逆向きの証明を、単位分数方程式の補題として切り出す。素数 $p$ と $p<x<y$ が $1\mathrm{/}x+1\mathrm{/}y=1\mathrm{/}p$ を満たすなら、正の因数分解から $(x,y)=(p+1,p+p^2)$ と一意に決まる。この補題を最初の約数 $a_2,a_3,a_6$ へ適用し、約数の順序から $p=2$ と $4,5$ の存在を導く。

まず次の補題を示す。$$\begin{array}{cccc}& p\text{ が素数、}p<x<y\text{、}{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{p}}\text{ なら }x=p+1,y=p+p^2\mathrm{.}& & \text{(補題)}\end{array}$$実際、$$xy=p(x+y)$$を整理すると$$(x-p)(y-p)=p^2\mathrm{.}$$$0<x-p<y-p$ であり、$p^2$ の異なる正の因数の組は $(1,p^2)$ だけだから、補題が従う。

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mtext\; mathvariant="bold">イ</mtext><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\Rightarrow </mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mtext\; mathvariant="bold">ロ</mtext><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$
$60\mid n$ なら $1,2,3,4,5,6$ はすべて $n$ の約数である。従って$$(a_1,\dots ,a_6)=(1,2,3,4,5,6)$$であり、$${\displaystyle \frac{1}{a_3}}+{\displaystyle \frac{1}{a_6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{a_2}}\mathrm{.}$$$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mtext\; mathvariant="bold">ロ</mtext><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\Rightarrow </mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mtext\; mathvariant="bold">イ</mtext><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$
$a_2$ は1より大きい最小の約数だから素数である。$p=a_2$ と置き、補題を$$x=a_3,y=a_6$$へ適用すると$$a_3=p+1,a_6=p+p^2\mathrm{.}$$もし $p\geqq 3$ なら $p$ は奇数なので $a_3=p+1$ は偶数である。$a_3\mid n$ なら $2\mid n$ となり、最小素約数が $p\geqq 3$ であることに反する。従って $p=2$ である。

よって$$a_2=2,a_3=3,a_6=6.$$$a_4,a_5$ は3と6の間にある異なる自然数なので$$a_4=4,a_5=5.$$従って $2,3,4,5$ がすべて $n$ を割り、$$\mathrm{lcm}(2,3,4,5)=60$$より $60\mid n$ である。以上で両条件は同値である。