京都大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

$C$上の接点を$(t,1\mathrm{/}t)$とすると接線は$y=-x\mathrm{/}{t}^2+2\mathrm{/}t$で、$x$切片が$2t$である。$A$を通るので$t=a\mathrm{/}2$、従って$$L_a:y=-{\displaystyle \frac{4}{a^2}}x+{\displaystyle \frac{4}{a}},B=(0,{\displaystyle \frac{4}{a}})\mathrm{.}$$また$RQ:y=2-x\mathrm{/}2$である。
(1)
2直線の交点は$$x_0={\displaystyle \frac{4a(a-2)}{a^2-8}},y_0={\displaystyle \frac{4(a-4)}{a^2-8}}\mathrm{.}$$$0<a<4$のもとで$x_0>0,y_0>0$を同時に満たすのは$$0<a<2.$$(2)
この範囲で$$S_1={\displaystyle \frac{(4-a)y_0}{2}}={\displaystyle \frac{2(4-a{)}^2}{8-a^2}},S_2={\displaystyle \frac{(4\mathrm{/}a-2)x_0}{2}}={\displaystyle \frac{4(2-a{)}^2}{8-a^2}}\mathrm{.}$$$u=(4-a)\mathrm{/}(2-a)$とおくと$u>2$であり$$S_1={\displaystyle \frac{2u^2}{u^2-2}},S_2={\displaystyle \frac{4}{u^2-2}}\mathrm{.}$$従って$S_1=S_2+2$である。$s=S_2$とおけば、$u:2\to \mathrm{\infty }$に伴い$s:2\to 0$なので$0<s<2$である。よって$$r=2+2s,m=s(s+2)\mathrm{.}$$$s$を消去すると$$m={\displaystyle \frac{r^2-4}{4}},2<r<6.$$従って存在範囲は放物線$m=r^2\mathrm{/}4-1$上の、端点$(2,0),(6,8)$を除く弧である。

接線配置と $(r,m)$ の軌跡

交点座標から2面積を直接求める。補助変数を導入せず
$S_1-S_2=2$ を代数的に示し、$S_2$ の連続な値域から
$(r,m)$ の軌跡を得る。

(1)

$C$ 上の接点を $(t,1\mathrm{/}t)$ とすると、接線の $x$ 切片は
$2t$ である。これが $A=(a,0)$ を通るので $t=a\mathrm{/}2$ となり$$L_a:y=-{\displaystyle \frac{4}{a^2}}x+{\displaystyle \frac{4}{a}}\mathrm{.}$$$RQ:y=2-x\mathrm{/}2$ との交点は$$x_0={\displaystyle \frac{4a(a-2)}{a^2-8}},y_0={\displaystyle \frac{4(a-4)}{a^2-8}}\mathrm{.}$$$0<a<4$ で両方が正となる必要十分条件は$$0<a<2.$$(2)

この範囲で$$S_1={\displaystyle \frac{2(4-a{)}^2}{8-a^2}},S_2={\displaystyle \frac{4(2-a{)}^2}{8-a^2}}\mathrm{.}$$分子を直接引けば$$S_1-S_2=2.$$また $S_2$ は $0<a<2$ で連続であり$$\underset{a\to 0+}{\lim }{S}_2=2,\underset{a\to 2-}{\lim }{S}_2=0.$$よって $s=S_2$ とおけば $0<s<2$、$S_1=s+2$ である。
したがって$$r=2s+2,m=s(s+2)\mathrm{.}$$$s=(r-2)\mathrm{/}2$ を消去して$$m={\displaystyle \frac{r^2-4}{4}},2<r<6.$$すなわち放物線上の、端点 $(2,0),(6,8)$ を除く弧である。