京都大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1) $${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=-e^{-t}(\cos t+\sin t),{\displaystyle \frac{dy}{dt}}=e^{-t}(\cos t-\sin t)\mathrm{.}$$従って速度は$$\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{dx}{dt}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}^2}=\sqrt{2}{e}^{-t}\mathrm{.}$$よって$$L={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sqrt{2}{e}^{-t}dt=\sqrt{2}(1-e^{-\pi \mathrm{/}2})\mathrm{.}$$(2)
曲線は$(1,0)$から$(0,e^{-\pi \mathrm{/}2})$へ進む。座標軸上の部分は面積積分への寄与が0なので$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(x{\displaystyle \frac{dy}{dt}}-y{\displaystyle \frac{dx}{dt}})dt\mathrm{.}$$被積分関数は$$e^{-2t}\{\cos t(\cos t-\sin t)+\sin t(\cos t+\sin t)\}=e^{-2t}$$である。従って$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^{-2t}dt={\displaystyle \frac{1-e^{-\pi }}{4}}\mathrm{.}$$

媒介表示を極座標 $r=e^{-\theta }$, $\theta =t$ と読み替える。(1)は極座標曲線の微小長さ $\sqrt{r^2+(dr\mathrm{/}d\theta {)}^2}d\theta$、(2)は微小扇形の面積 $(1\mathrm{/}2)r^{2}d\theta$ を積分する。直交座標の微分式とは別の幾何的な導出である。

与えられた曲線は極座標で$$r=e^{-\theta },0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$と表される対数らせんである。

(1)
極座標曲線の微小長さは$$ds=\sqrt{r^2+{\left({\displaystyle \frac{dr}{d\theta }}\right)}^2}d\theta \mathrm{.}$$ここでは $$dr\mathrm{/}d\theta =-e^{-\theta }=-r$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sqrt{2}{e}^{-\theta }d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{2}(1-e^{-\pi \mathrm{/}2})\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
角度 $d\theta$ の細い扇形の面積は $(1\mathrm{/}2)r^{2}d\theta$ である。従って曲線と両座標軸で囲まれる面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^{-2\theta }d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1-e^{-\pi }}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$