京都大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

一定速度を $v$ km/h とし，時刻 $\tau$ に積んでいるガソリン量を $x$ kg とする。このとき毎時の消費量は ${\displaystyle \frac{100+x}{100}}{e}^{kv}$ kg だから，走行中は $${\displaystyle \frac{dx}{d\tau }}=-{\displaystyle \frac{100+x}{100}}{e}^{kv}$$ である。

100kmを速度 $v$ で走る時間は ${\displaystyle \frac{100}{v}}$ 時間である。固定した $v$ のもとで初めに積む量を多くすると，その分だけ車が重くなり消費量も増える。したがって最小にするには，到着時にちょうどガソリンが0になるように積めばよい。

初めに積む量を $x_0$ kg とする。到着時に $x=0$ となる条件を積分すると$${\int }_{x_0}^0{\displaystyle \frac{dx}{100+x}}=-{\int }_0^{100\mathrm{/}v}{\displaystyle \frac{e^{kv}}{100}}d\tau$$である。左辺は $\log 100-\log (100+x_0)$ であり，右辺は $-{\displaystyle \frac{e^{kv}}{v}}$ である。よって $$\log {\displaystyle \frac{100+x_0}{100}}={\displaystyle \frac{e^{kv}}{v}}$$ となり $$x_0=100(\exp \left({\displaystyle \frac{e^{kv}}{v}}\right)-1)$$ である。

したがって，初期量を最小にするには ${\displaystyle \frac{e^{kv}}{v}}$ を最小にすればよい。これを $$h(v)={\displaystyle \frac{e^{kv}}{v}}$$ とおくと $$h^{\mathrm{\prime }}(v)={\displaystyle \frac{e^{kv}(kv-1)}{v^2}}$$ である。$v>0$ だから，$h^{\mathrm{\prime }}(v)$ の符号は $kv-1$ の符号で決まる。よって $h(v)$ は $0<v<{\displaystyle \frac{1}{k}}$ で減少し，$v>{\displaystyle \frac{1}{k}}$ で増加する。したがって最小となる速度は $v={\displaystyle \frac{1}{k}}$ である。

このとき $${\displaystyle \frac{e^{kv}}{v}}=ke$$ であるから，最初に積むべきガソリンの量は $100\{\exp (ke)-1\}\text{ kg}$ である。

以上より，ガソリンの消費量を最小にするには，速度を ${\displaystyle \frac{1}{k}}\text{ km/h}$ とし，最初に $100\{\exp (ke)-1\}\text{ kg}$ のガソリンを積めばよい。

時間ではなく走行距離 $s$ を独立変数にする。
$y=\log (100+x)$ と置けば燃料方程式が定数係数になり、
100 km 走行に必要な最小初期量が直ちに求まる。
最後にその式を速度 $v$ について最小化する。

走行距離を $s$ km、残るガソリンを $x(s)$ kg とする。
$ds\mathrm{/}dt=v$ だから$${\displaystyle \frac{dx}{ds}}=-{\displaystyle \frac{100+x}{100v}}{e}^{kv}\mathrm{.}$$$y=\log (100+x)$ とおくと$${\displaystyle \frac{dy}{ds}}={\displaystyle \frac{1}{100+x}}{\displaystyle \frac{dx}{ds}}=-{\displaystyle \frac{e^{kv}}{100v}}\mathrm{.}$$初期量を $x_0$ とし、余分な燃料を残さず $s=100$ で
$x=0$ となるようにすれば$$\log 100-\log (100+x_0)=-{\displaystyle \frac{e^{kv}}{v}}\mathrm{.}$$よって$$x_0(v)=100\{\exp \left({\displaystyle \frac{e^{kv}}{v}}\right)-1\}\mathrm{.}$$外側の指数関数は単調増加なので$$h(v)={\displaystyle \frac{e^{kv}}{v}}$$を最小化すればよい。$${\displaystyle \frac{d}{dv}}\log h(v)=k-{\displaystyle \frac{1}{v}}\mathrm{.}$$したがって $h$ は $v=1\mathrm{/}k$ まで減少し、その後増加する。
最適な速度と初期量は$$v={\displaystyle \frac{1}{k}}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{h},x_0=100\{\exp (ke)-1\}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}$$