京都大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
曲線$y=\cos x$の$x=t$における接線は $y-\cos t=-\sin t(x-t)$ である。すなわち $$y=-x\sin t+\cos t+t\sin t$$ である。 $0<t<\pi \mathrm{/}2$では$\sin t>0$, $\cos t>0$である。この接線の$y$軸との交点の$y$座標は $\cos t+t\sin t$ であり、$x$軸との交点は $$0=-x\sin t+\cos t+t\sin t$$ より $x=t+\cot t$ である。したがって、囲まれる三角形の面積は $$S(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}(t+\cot t)(\cos t+t\sin t)$$ である。$$t+\cot t=(\cos t+t\sin t)\mathrm{/}\sin t$$なので $$S(t)={\displaystyle \frac{(\cos t+t\sin t{)}^2}{2\sin t}}$$ とも書ける。

(2)
$B=\cos t+t\sin t$ とおくと $$S(t)={\displaystyle \frac{B^2}{2\sin t}},B^{\mathrm{\prime }}=t\cos t$$ である。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S^{\mathrm{\prime }}(t)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2B{B}^{\mathrm{\prime }}\cdot 2\sin t-B^2\cdot 2\cos t}{(2\sin t{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{B\{2t\cos t\sin t-B\cos t\}}{2{\sin }^{2}t}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{B\cos t\{2t\sin t-(\cos t+t\sin t)\}}{2{\sin }^{2}t}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{B\cos t(t\sin t-\cos t)}{2{\sin }^{2}t}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$B>0$, $\cos t>0$, $\sin t>0$なので、$S^{\mathrm{\prime }}(t)$の符号は $t\sin t-\cos t$ の符号と一致する。すなわち、$S^{\mathrm{\prime }}(t)$の符号は $t\tan t-1$ の符号と一致する。

関数$t\tan t$は$(0,\pi \mathrm{/}2)$で単調増加する。実際、微分すると $$(t\tan t{)}^{\mathrm{\prime }}=\tan t+{\displaystyle \frac{t}{{\cos }^{2}t}}>0$$ である。また $$\underset{t\to +0}{\lim }t\tan t=0,\underset{t\to \pi \mathrm{/}2-0}{\lim }t\tan t=+\mathrm{\infty }$$ である。したがって $t\tan t=1$ を満たす$t_0$がただ1つ存在する。 $0<t<t_0$では$t\tan t<1$なので$S^{\mathrm{\prime }}(t)<0$、$t_0<t<\pi \mathrm{/}2$では$t\tan t>1$なので$S^{\mathrm{\prime }}(t)>0$である。よって$S(t)$は$t=t_0$でただ1つの最小値をとる。

さらに $${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}<1$$ であるから、単調性より $${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<t_0$$ である。また$1>\pi \mathrm{/}4$なので$\tan 1>\tan (\pi \mathrm{/}4)=1$であり $1\cdot \tan 1>1$ である。したがって $t_0<1$ である。以上より $${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<t_0<1$$ である。

(3)
最小条件より $t_0\tan t_0=1$ である。したがって $t_0\sin t_0=\cos t_0$ である。これを$S(t)$の式に代入すると $$\cos t_0+t_0\sin t_0=2\cos t_0$$ なので $$S(t_0)={\displaystyle \frac{(2\cos t_0{)}^2}{2\sin t_0}}={\displaystyle \frac{2{\cos }^2{t}_0}{\sin t_0}}\mathrm{.}$$ また$t_0\sin t_0=\cos t_0$より$\cos t_0\mathrm{/}\sin t_0=t_0$であるから $S(t_0)=2t_0\cos t_0$ である。

次に$S(t_0)>\sqrt{2}\pi \mathrm{/}4$を示す。関数$t\cos t$を微分すると $$(t\cos t{)}^{\mathrm{\prime }}=\cos t-t\sin t=\cos t(1-t\tan t)$$ である。$0<t<t_0$では$t\tan t<1$だから $(t\cos t{)}^{\mathrm{\prime }}>0$ である。よって$t\cos t$は$(0,t_0)$で増加する。すでに$\pi \mathrm{/}4<t_0$を示したので $$t_0\cos t_0>{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi }{8}}$$ である。したがって $$S(t_0)=2t_0\cos t_0>{\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi }{4}}$$ が成り立つ。

接線の2切片を直接微分する。$x$切片を $X=t+\cot t$、$y$切片を $Y=\cos t+t\sin t$ とすると $Y=X\sin t$ で、$S=XY\mathrm{/}2$ である。対数微分により符号を短く $t\tan t-1$ へ落とし、唯一の零点と最小値を示す。最後は同じ零点条件を使って値と下界を求める。

(1)
接線は$$y=-x\sin t+\cos t+t\sin t\mathrm{.}$$$x$切片と $y$切片を$$X=t+\cot t,Y=\cos t+t\sin t$$とすると $Y=X\sin t$ である。従って$$S(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}XY={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin t(t+\cot t{)}^2\mathrm{.}$$(2)
$S(t)>0$ なので対数微分する。$${\displaystyle \frac{S^{\mathrm{\prime }}(t)}{S(t)}}=\cot t+2{\displaystyle \frac{1-{\csc }^{2}t}{t+\cot t}}\mathrm{.}$$整理すると、この符号は$$t\tan t-1$$の符号と一致する。関数 $t\tan t$ は$$(t\tan t{)}^{\mathrm{\prime }}=\tan t+{\displaystyle \frac{t}{{\cos }^{2}t}}>0$$で、$t\to 0+0$ では0、$t\to \pi \mathrm{/}2-0$ では正の無限大へ近づく。従って$$t_0\tan t_0=1$$を満たす点 $t_0$ がただ1つあり、そこで $S$ は減少から増加へ変わる。$${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4}}<1,1\cdot \tan 1>1$$だから$${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<t_0<1.$$(3)
$t_0\sin t_0=\cos t_0$ より$$S(t_0)=2t_0\cos t_0\mathrm{.}$$また$$(t\cos t{)}^{\mathrm{\prime }}=\cos t(1-t\tan t)>0(0<t<t_0)\mathrm{.}$$$\pi \mathrm{/}4<t_0$ だから$$t_0\cos t_0>{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi }{8}}\mathrm{.}$$従って$$S(t_0)>{\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi }{4}}\mathrm{.}$$