京都大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

曲線を$$f(x)=x^3+kx$$とする。接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線は$$y=(3t^2+k)x-2t^3$$である。従って点 $(X,Y)$ を通る接線の本数は$$P(t)=2t^3-3X{t}^2+Y-kX=0$$の異なる実数解の個数に等しい。

領域 $A$ は$$Y>-X,Y<-1$$であり、従って必ず $X>1$ である。$P^{\mathrm{\prime }}(t)=6t(t-X)$ なので、$X>1$ のもとで $P$ は $t=0$ で極大、$t=X$ で極小となる。相異なる3実根をもつための必要十分条件は$$P(0)>0,P(X)<0,$$すなわち$$0<Y-kX<X^3$$である。

これがすべての $X>1,-X<Y<-1$ で成り立つ条件を調べる。まず$$Y-kX>0$$が全域で成り立つには、$Y$ を $-X$ に近づけて考えることにより$$-(k+1)X\geqq 0,$$すなわち$$k\leqq -1$$が必要十分である。境界 $k=-1$ でも $Y>-X$ なので不等号は厳密である。

次に$$Y-kX<X^3$$が全域で成り立つには、$Y$ を $-1$ に近づけて$$-1-kX\leqq X^3$$がすべての $X>1$ で成り立てばよい。これは$$k\geqq -(X^2+{\displaystyle \frac{1}{X}})$$がすべての $X>1$ で成り立つことと同値である。$X^2+1\mathrm{/}X$ は $X>1$ で増加し、その下限は2だから$$k\geqq -2$$である。$k=-2$ のときも $X>1$ では $X^3-2X+1>0$ なので問題ない。

以上より必要十分条件は$$-2\leqq k\leqq -1$$である。

接点を $t$ とする三次方程式について、極値の大小を述べる代わりに、3実根が $(-\mathrm{\infty },0),(0,X),(X,\mathrm{\infty })$ に1つずつ入るための符号条件を使う。領域の境界へ近づけて $k$ の必要十分条件を絞る。

点 $(X,Y)\in A$ を通り、$t$ を接点とする接線条件は$$P(t)=2t^3-3X{t}^2+Y-kX=0.$$$A$ では $X>1$ であり$$P^{\mathrm{\prime }}(t)=6t(t-X)\mathrm{.}$$三次方程式が相異なる3実根をもつことは、根が$$(-\mathrm{\infty },0),(0,X),(X,\mathrm{\infty })$$に1つずつ入ることと同値である。その符号条件は$$P(0)>0,P(X)<0,$$すなわち$$0<Y-kX<X^3\mathrm{.}$$これが全ての $X>1,-X<Y<-1$ で成り立つ条件を求める。左側は $Y\to -X+0$ として$$k\leqq -1.$$右側は $Y\to -1-0$ として$$-1-kX\leqq X^3⟺k\geqq -(X^2+{\displaystyle \frac{1}{X}})\mathrm{.}$$$X>1$ で $X^2+1\mathrm{/}X>2$ かつ下限が2だから$$k\geqq -2.$$端点でも領域の不等号が厳密なので、必要十分条件は$$-2\leqq k\leqq -1$$である。