京都大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)

最初に $B$ が0を引く確率は $1\mathrm{/}(n+1)$ である。この枝では
0を持つ側と次の手番が入れ替わるため、以後 $A$ が勝つ確率は
$q_n=1-p_n$ である。

正番号を引く確率は $n\mathrm{/}(n+1)$ である。$B$ が同番号の2枚を捨て、
続く $A$ の手でも必ず別の同番号2枚を捨てるので、残りは
添字が2小さい同じゲームになる。$n=1,2$ ではこの枝で $B$
の札がなくなり $A$ は勝たない。したがって$$p_1={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-p_1),p_2={\displaystyle \frac{1}{3}}(1-p_2)\mathrm{.}$$よって$$p_1={\displaystyle \frac{1}{3}},q_1={\displaystyle \frac{2}{3}},p_2={\displaystyle \frac{1}{4}},q_2={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$(2)

ゲームは確率1でどちらかの勝ちに終わるので$$p_n+q_n=1.$$$n\geqq 3$ では上の2つの枝から$$p_n={\displaystyle \frac{1-p_n}{n+1}}+{\displaystyle \frac{n}{n+1}}{p}_{n-2}\mathrm{.}$$整理して$$(n+2)p_n-n{p}_{n-2}=1.$$(3)

偶数と奇数に分けて帰納すると$$p_{2m}={\displaystyle \frac{m}{2m+2}}(m\geqq 1),$$$$p_{2m+1}={\displaystyle \frac{m+1}{2m+3}}(m\geqq 0)\mathrm{.}$$初期値 $p_1,p_2$ に一致し、漸化式へ代入すれば同じ偶奇の
次項が得られるので、すべての自然数 $n$ で成立する。

最初の札による2つの縮約

2段漸化式を偶数列と奇数列へ分ける。左辺の係数を吸収した
新しい数列を置くと、どちらも「前項に1を足す」漸化式になる。

(1)

$n=1,2$ のゲームを直接追うと$$p_1={\displaystyle \frac{1}{3}},p_2={\displaystyle \frac{1}{4}},q_1={\displaystyle \frac{2}{3}},q_2={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$(2)

最初に0を引く枝では役割が交換し、正番号を引く枝では2組を除いて
$n-2$ のゲームになる。したがって$$p_n={\displaystyle \frac{1-p_n}{n+1}}+{\displaystyle \frac{n}{n+1}}{p}_{n-2}\mathrm{.}$$また $p_n+q_n=1$ であり、$n\geqq 3$ では$$(n+2)p_n-n{p}_{n-2}=1.$$(3)

偶数項について$$U_m=(2m+2)p_{2m}$$とおく。漸化式から$$U_m=1+2m{p}_{2m-2}=1+U_{m-1}\mathrm{.}$$$U_1=4p_2=1$ だから $U_m=m$。よって$$p_{2m}={\displaystyle \frac{m}{2m+2}}\mathrm{.}$$奇数項について$$V_m=(2m+3)p_{2m+1}$$とおくと$$V_m=1+(2m+1)p_{2m-1}=1+V_{m-1}\mathrm{.}$$$V_0=3p_1=1$ だから $V_m=m+1$。したがって$$p_{2m+1}={\displaystyle \frac{m+1}{2m+3}}\mathrm{.}$$