京都大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

因数分解すると $$a^p-b^p=(a-b)(a^{p-1}+a^{p-2}b+\cdots +a{b}^{p-2}+b^{p-1})$$ である。右辺は素数 $d$ であり、$a-b$ と第二因子はいずれも正の整数である。

ここで第二因子は正の項の和であり、$p>2$ かつ $b\geqq 1$ だから $1$ ではない。したがって素数 $d$ の積への分解として、必ず $a-b=1$ でなければならない。よって $a=b+1$ である。

このとき $d=(b+1{)}^p-b^p$ である。二項定理より$$(b+1{)}^p-b^p=1+{}_p{\mathrm{C}}_{1}b+{}_p{\mathrm{C}}_2{b}^2+\cdots +{}_p{\mathrm{C}}_{p-1}{b}^{p-1}$$である。$p$ が素数なので、$1\leqq k\leqq p-1$ に対して ${}_p{\mathrm{C}}_k$ は $p$ で割り切れる。したがって $d\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ である。

また $a$ と $b$ は連続する整数であり、$p$ は奇数である。偶奇は奇数乗しても変わらないので、$a^p$ と $b^p$ の偶奇は異なる。よって $d=a^p-b^p$ は奇数であり $d\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ である。 $p$ と $2$ は互いに素だから、$d\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ かつ $d\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ より $d\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2p)$ である。したがって $d$ を $2p$ で割った余りは $1$ である。

素数値への因数分解から $a-b=1$ を得る。その後は二項定理を
1から順に用いて $n^p\equiv n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ を証明し、$a,b$ に適用する。
最後に奇数性と合わせて法 $2p$ の合同式にする。

まず$$a^p-b^p=(a-b)(a^{p-1}+a^{p-2}b+\cdots +a{b}^{p-2}+b^{p-1})\mathrm{.}$$第2因子は1より大きい正の整数で、積は素数 $d$ であるから$$a-b=1.$$次に、素数 $p$ に対して$$(n+1{)}^p-n^p-1=\sum _{k=1}^{p-1}{}_p{\mathrm{C}}_k{n}^k$$の右辺は $p$ で割り切れる。$1^p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ から順に
帰納すると、すべての自然数 $n$ について$$n^p\equiv n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$である。よって$$d=a^p-b^p\equiv a-b\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$また $a,b$ は連続する整数で $p$ は奇数だから、$a^p,b^p$
の偶奇は異なる。したがって$$d\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)\mathrm{.}$$$p$ は奇素数なので2と互いに素であり、2つの合同式を合わせて$$d\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2p)\mathrm{.}$$