京都大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $C_1:y=x^3$ の $x=s$ における接線を求める。$y=x^3$ の微分係数は $3s^2$ であるから、接線は $y-s^3=3s^2(x-s)$ すなわち $y=3s^{2}x-2s^3$ である。この直線が $P=(p,q)$ を通る条件は $q=3s^{2}p-2s^3$ であり、整理して $2s^3-3p{s}^2+q=0$ となる。

一方、$C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標は $x^3=a{x}^2+bx+c$ すなわち $x^3-a{x}^2-bx-c=0$ を満たす。交点は相異なる3点であり、$y=x^3$ は $x$ が決まれば点も決まるので、対応する3つの $x$ 座標も相異なる。

その3つの交点での接線がすべて $P$ を通るから、上の2つの三次方程式は同じ3つの根をもつ。先頭係数をそろえると $$x^3-a{x}^2-bx-c={\displaystyle \frac{1}{2}}(2x^3-3p{x}^2+q)$$ である。よって係数比較により $$a={\displaystyle \frac{3}{2}}p,b=0,c=-{\displaystyle \frac{1}{2}}q$$ である。

(2)

(1) より、交点の $x$ 座標は $F(x)=2x^3-3p{x}^2+q=0$ の相異なる3つの実根でなければならない。したがって、この三次方程式が相異なる3実根をもつための $p,q$ の条件を求めればよい。

微分すると $F^{\mathrm{\prime }}(x)=6x(x-p)$ である。

まず $p>0$ とする。このとき $x=0$ で極大、$x=p$ で極小をとる。三次関数の先頭係数は正なので、相異なる3実根をもつための必要十分条件は $F(0)>0,F(p)<0$ である。実際、この条件なら $(-\mathrm{\infty },0)$、$(0,p)$、$(p,\mathrm{\infty })$ にそれぞれ1つずつ根がある。計算すると $$F(0)=q,F(p)=2p^3-3p^3+q=q-p^3$$ だから $0<q<p^3$ である。

次に $p<0$ とする。このとき $x=p$ で極大、$x=0$ で極小をとるので、相異なる3実根をもつための必要十分条件は $F(p)>0,F(0)<0$ である。よって $q-p^3>0,q<0$ すなわち $p^3<q<0$ である。

最後に $p=0$ のときは $F(x)=2x^3+q$ であり、相異なる3つの実根をもつことはない。

したがって求める条件は $p>0,0<q<p^3$ または $p<0,p^3<q<0$ である。

3交点と共通接線点 $P$

3交点の $x$ 座標を根にもつ2つの三次式を係数比較する。
後半は三次方程式の判別式を計算し、相異なる3実根の条件を
判別式が正であることとして一度に求める。

(1)

$C_1$ 上の点 $(s,s^3)$ における接線は$$y=3s^{2}x-2s^3\mathrm{.}$$これが $P=(p,q)$ を通る条件は$$2s^3-3p{s}^2+q=0.$$一方、$C_1,C_2$ の交点の $x$ 座標は$$x^3-a{x}^2-bx-c=0$$の根である。相異なる3つの根が一致するので$$x^3-a{x}^2-bx-c={\displaystyle \frac{1}{2}}(2x^3-3p{x}^2+q)\mathrm{.}$$したがって$$a={\displaystyle \frac{3}{2}}p,b=0,c=-{\displaystyle \frac{1}{2}}q\mathrm{.}$$(2)

次に$$F(x)=2x^3-3p{x}^2+q$$が相異なる3実根をもつ条件を求める。三次式
$A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$ の判別式へ
$A=2,B=-3p,C=0,D=q$ を代入すると$$\mathrm{\Delta }=-4B^{3}D-27A^2{D}^2=108q(p^3-q)\mathrm{.}$$実係数三次方程式が相異なる3実根をもつための必要十分条件は
$\mathrm{\Delta }>0$ だから$$q(p^3-q)>0.$$これは$$p>0,0<q<p^3$$または$$p<0,p^3<q<0$$と同値である。境界では重根が生じるので含まない。