京都大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$\vec{u}=\overrightarrow{O{P}_0}$$ とおく。1回目に選ばれる頂点を $X$ とすると $$\overrightarrow{O{P}_1}={\displaystyle \frac{\vec{u}+\overrightarrow{OX}}{2}}$$ である。正三角形の重心は原点 $O$ だから$${\displaystyle \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}}=\vec{0}$$である。また $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OC}\mathrm{\mid }=1$$ である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E_1}& {\displaystyle =E\left(\mathrm{\mid }\overrightarrow{O{P}_1}{\mathrm{\mid }}^2\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}E(\mathrm{\mid }\vec{u}+\overrightarrow{OX}{\mathrm{\mid }}^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}(\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+2\vec{u}\cdot E(\overrightarrow{OX})+E(\mathrm{\mid }\overrightarrow{OX}{\mathrm{\mid }}^2))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}(\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+1)}\end{array}$$である。よって $$E_1={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{O{P}_0}{\mathrm{\mid }}^2+1}{4}}$$ である。

(2)

選んだ頂点を順に $X_1,X_2,\dots ,X_n$ とする。操作の定義から$$\overrightarrow{O{P}_m}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{O{P}_{m-1}}+\overrightarrow{O{X}_m}}{2}}$$である。これを繰り返すと$$\overrightarrow{O{P}_n}={\displaystyle \frac{1}{2^n}}\overrightarrow{O{P}_0}+\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{1}{2^{n-i+1}}}\overrightarrow{O{X}_i}$$となる。

実際，$n=1$ では明らかであり，$n-1$ で成り立つとして両辺を2で割り，最後に $\overrightarrow{O{X}_n}\mathrm{/}2$ を加えれば $n$ の式が得られる。

(3) $P_0=O$ のとき，(2)より$$\overrightarrow{O{P}_n}=\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{1}{2^{n-i+1}}}\overrightarrow{O{X}_i}$$である。ここで $i\mathrm{\ne }j$ なら，選択は独立であり，各頂点ベクトルの平均は0だから $$E(\overrightarrow{O{X}_i}\cdot \overrightarrow{O{X}_j})=0$$ である。また各 $i$ について $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{O{X}_i}{\mathrm{\mid }}^2=1$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E_n}& {\displaystyle =E\left({\mid \sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{1}{2^{n-i+1}}}\overrightarrow{O{X}_i}\mid }^2\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{1}{4^{n-i+1}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=1}^n{\displaystyle \frac{1}{4^j}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1-4^{-n}}{3}}}\end{array}$$である。

(1) の計算を各段階へ適用し、期待値だけの一次漸化式を作る。
(2)はベクトル漸化式を帰納法で展開する。
(3)では $P_0=O$ から $E_0=0$ とし、一次漸化式を解く。

選ばれた頂点を $X_{n+1}$ とすると$$\overrightarrow{O{P}_{n+1}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{O{P}_n}+\overrightarrow{O{X}_{n+1}}}{2}}\mathrm{.}$$正三角形の重心が $O$ であることから$$E(\overrightarrow{O{X}_{n+1}})=\mathbf{0},\mathrm{\mid }\overrightarrow{O{X}_{n+1}}{\mathrm{\mid }}^2=1.$$(1)

$P_0$ を固定して条件付き期待値を取ると$$E_1={\displaystyle \frac{1}{4}}(\mathrm{\mid }\overrightarrow{O{P}_0}{\mathrm{\mid }}^2+1)\mathrm{.}$$(2)

上のベクトル漸化式を繰り返すと$$\overrightarrow{O{P}_n}={\displaystyle \frac{1}{2^n}}\overrightarrow{O{P}_0}+\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{1}{2^{n-i+1}}}\overrightarrow{O{X}_i}\mathrm{.}$$$n=1$ で成り立ち、$n$ の式を2で割って
$\overrightarrow{O{X}_{n+1}}\mathrm{/}2$ を加えれば $n+1$ の式になるので、
帰納法でも確認できる。

(3)

同じ計算を任意の段階で行うと$$E_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}{E}_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$$P_0=O$ では $E_0=0$ である。$$E_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{4}}(E_n-{\displaystyle \frac{1}{3}})$$だから$$E_n={\displaystyle \frac{1}{3}}(1-4^{-n})\mathrm{.}$$