京都大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$f$ は平面上の1次変換であるから $f(\vec{0})=\vec{0}$ である。仮定に $f(\vec{v})\mathrm{\ne }\vec{v}$ があるので，$\vec{v}\mathrm{\ne }\vec{0}$ である。

まず $\vec{v}$ と $f(\vec{v})$ が一次従属であると仮定する。すると，ある実数 $\lambda$ によって $f(\vec{v})=\lambda \vec{v}$ と書ける。このとき $$f^2(\vec{v})=\lambda f(\vec{v})={\lambda }^2\vec{v}$$ であり，さらに $$f^3(\vec{v})={\lambda }^3\vec{v}$$ である。ところが仮定より $f^3(\vec{v})=\vec{v}$ で，$\vec{v}\mathrm{\ne }\vec{0}$ だから ${\lambda }^3=1$ である。$\lambda$ は実数なので $\lambda =1$ であり，これは $f(\vec{v})=\vec{v}$ を意味して仮定に反する。

したがって $\vec{v}$ と $f(\vec{v})$ は一次独立である。平面上ではこの2本が基底になる。

次に $f^3$ の作用を調べる。仮定より $f^3(\vec{v})=\vec{v}$ である。また1次変換の合成は順序を保って計算できるので $$f^3(f(\vec{v}))=f(f^3(\vec{v}))=f(\vec{v})$$ である。つまり $f^3$ は基底 $\vec{v}$，$f(\vec{v})$ をどちらも動かさない。

任意の平面上のベクトル $\vec{w}$ は，ある実数 $p,q$ により $$\vec{w}=p\vec{v}+qf(\vec{v})$$ と表せる。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^3(\vec{w})}& {\displaystyle =p{f}^3(\vec{v})+q{f}^3(f(\vec{v}))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =p\vec{v}+qf(\vec{v})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\vec{w}}\end{array}$$である。したがって $f^3$ は恒等変換である。

$\mathit{v},f(\mathit{v})$ が基底になることを示し、その基底で
$f$ の行列を決定する。条件 $f^3(\mathit{v})=\mathit{v}$ から
$f^2(\mathit{v})$ の係数が一意に決まり、得られた行列を3乗する。

まず $\mathit{v}$ と $f(\mathit{v})$ は一次独立である。
実際、$$f(\mathit{v})=\lambda \mathit{v}$$ と書けるなら$$f^3(\mathit{v})={\lambda }^3\mathit{v}=\mathit{v}\mathrm{.}$$$$\mathit{v}\mathrm{\ne }\mathbf{0}$$ かつ $\lambda \in \mathbb{R}$ より
$\lambda =1$ となり、仮定 $$f(\mathit{v})\mathrm{\ne }\mathit{v}$$ に反する。
よって$${\mathit{e}}_1=\mathit{v},{\mathit{e}}_2=f(\mathit{v})$$は平面の基底である。$$f^2(\mathit{v})=a{\mathit{e}}_1+b{\mathit{e}}_2$$とおく。両辺に $f$ を作用させ、$$f^3(\mathit{v})={\mathit{e}}_1$$を使うと$${\mathit{e}}_1=a{\mathit{e}}_2+b(a{\mathit{e}}_1+b{\mathit{e}}_2)\mathrm{.}$$係数比較により$$ab=1,a+b^2=0.$$したがって $b^3=-1$ で $b=-1,a=-1$ である。

この基底で $f$ の行列は$$F=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$直接計算すると$$F^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 0\end{array}\right),F^3=I\mathrm{.}$$よって $f^3$ は平面のすべてのベクトルを固定する恒等変換である。