京都大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
まず差を計算する。 $$f(a+2^{n-1})-f(a)=(a+2^{n-1}{)}^2+7-(a^2+7)$$ $=2^{n}a+2^{2n-2}$ である。$n\geqq 3$ なので $2n-2\geqq n+1$ であり、$2^{2n-2}$ は $2^{n+1}$ の倍数である。

また、仮定より $f(a)=a^2+7$ は $2^n$ の倍数であり、特に $8$ の倍数である。もし $a$ が偶数なら $a^2+7$ は奇数であり、8の倍数にはならない。したがって $a$ は奇数である。 $f(a)=2^{n}u$ とおく。$u$ が偶数なら、$f(a)$ はすでに $2^{n+1}$ の倍数である。$u$ が奇数の場合を考える。このとき $$f(a+2^{n-1})=f(a)+2^{n}a+2^{2n-2}$$ だから、$2^n$ で割って偶奇を見ると $${\displaystyle \frac{f(a+2^{n-1})}{2^n}}=u+a+2^{n-2}$$ である。ここで $n\geqq 3$ なので $2^{n-2}$ は偶数であり、$u$ と $a$ はともに奇数である。よって $u+a+2^{n-2}$ は偶数である。したがって $f(a+2^{n-1})$ は $2^{n+1}$ の倍数である。

以上より、$f(a)$ と $f(a+2^{n-1})$ のうち少なくとも一方は $2^{n+1}$ の倍数である。

(2) $a=1$ とすると $f(1)=1^2+7=8$ である。したがって $n=1,2,3$ については、$a_n=1$ とすれば $f(a_n)$ は $2^n$ の倍数である。

次に、ある $n\geqq 3$ について、$f(a)$ が $2^n$ の倍数となる自然数 $a$ が存在すると仮定する。(1)より、$a$ と $a+2^{n-1}$ のどちらかを選べば、その値を $a^{\mathrm{\prime }}$ として $f(a^{\mathrm{\prime }})\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{2}^{n+1})$ となる。しかも $a^{\mathrm{\prime }}$ は自然数である。

したがって $n=3$ から始めてこの操作を繰り返すことで、任意の自然数 $n$ に対して、$f(a_n)$ が $2^n$ の倍数となる自然数 $a_n$ が存在する。

$f(a)=2^{n}u$ と書き、候補を $a+\epsilon 2^{n-1}$（$\epsilon =0,1$）に統一する。商の偶奇が $\epsilon$ の選択で必ず0になることを示し、その選択を帰納的に繰り返す。

(1)
$f(a)=2^{n}u$ と書く。$n\geqq 3$ なので $a$ は奇数である。実際、偶数なら $a^2+7$ は奇数となる。

$\epsilon =0,1$ に対して$$a_{\epsilon }=a+\epsilon 2^{n-1}$$とおく。展開すると$${\displaystyle \frac{f(a_{\epsilon })}{2^n}}=u+\epsilon a+\epsilon 2^{n-2}\mathrm{.}$$右辺を2で見れば $2^{n-2}$ は偶数、$a$ は奇数だから$${\displaystyle \frac{f(a_{\epsilon })}{2^n}}\equiv u+\epsilon (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)\mathrm{.}$$$u$ が偶数なら $\epsilon =0$、奇数なら $\epsilon =1$ を選べば、この商は偶数になる。従って $f(a)$ と $f(a+2^{n-1})$ の少なくとも一方は $2^{n+1}$ の倍数である。

(2) $$f(1)=8$$だから $n=1,2,3$ では $a_n=1$ とできる。$n\geqq 3$ で $2^n\mid f(a_n)$ とする。(1)の $\epsilon$ を選び、$$a_{n+1}=a_n+\epsilon 2^{n-1}$$と定めれば$$2^{n+1}\mid f(a_{n+1})\mathrm{.}$$従って数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ に対して所要の自然数 $a_n$ が存在する。