京都大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

面積比、平行性、中点、点対称はアフィン変換で保たれる。したがって、面積が1である三角形 $$A=(0,1),B=(-1,0),C=(1,0)$$ で考えてよい。 $$\lambda ={\displaystyle \frac{AP}{AB}}(0\leqq \lambda \leqq 1)$$ とおく。点$P$は辺$AB$上を$A$から$B$へ$\lambda$だけ進んだ点なので $P=(-\lambda ,1-\lambda )$ である。$PQ\parallel BC$より$PQ$は水平で、$Q$は辺$AC$上にあるから $Q=(\lambda ,1-\lambda )$ である。線分$PQ$の中点は$(0,1-\lambda )$である。これに関して$A=(0,1)$と対称な点が$R$なので $R=(0,1-2\lambda )$ である。

まず $$0\leqq \lambda \leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ のときを考える。このとき$R$は$BC$上またはその上側にあり、$P,Q,R$はいずれも$\mathrm{△}ABC$内にある。したがって共通部分は$\mathrm{△}PQR$全体である。$PQ=2\lambda$、$R$から$PQ$までの高さは$\lambda$だから $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\lambda \cdot \lambda ={\lambda }^2$$ である。

次に ${\displaystyle \frac{1}{2}}<\lambda \leqq 1$ のときを考える。このとき$R$は辺$BC$の下側にある。直線$PR$は$P=(-\lambda ,1-\lambda )$と$R=(0,1-2\lambda )$を通るので傾きは$-1$であり、方程式は $y=-x+1-2\lambda$ である。よって$BC$, すなわち$y=0$との交点は $(1-2\lambda ,0)$ である。同様に直線$QR$は $y=x+1-2\lambda$ であり、$BC$との交点は $(2\lambda -1,0)$ である。

したがって共通部分は、上底$PQ$の長さが$2\lambda$、下底の長さが $$(2\lambda -1)-(1-2\lambda )=4\lambda -2$$ 高さが$1-\lambda$の台形である。ゆえに $$S={\displaystyle \frac{2\lambda +(4\lambda -2)}{2}}(1-\lambda )=(3\lambda -1)(1-\lambda )$$ である。

以上より$$S=\{\begin{array}{ll}{\lambda }^2& (0\leqq \lambda \leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ (3\lambda -1)(1-\lambda )& ({\displaystyle \frac{1}{2}}<\lambda \leqq 1)\end{array}$$である。前半では$S={\lambda }^2$が増加するので最大値は ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。後半では$$(3\lambda -1)(1-\lambda )=-3{\lambda }^2+4\lambda -1=-3{(\lambda -{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}$$であるから、$\lambda =2\mathrm{/}3$で最大値 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ をとる。$1\mathrm{/}3>1\mathrm{/}4$なので、求める最大値は ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

座標を置かず、$\lambda =AP\mathrm{/}AB$ として相似比と高さの比だけで面積を表す。$R$ が辺 $BC$ の上側にある場合は三角形、下側に出る場合は台形となる。平行線に沿う長さと高さをすべて $BC$ と元の高さの倍数で表し、元の面積が1であることを最後に使う。

三角形 $ABC$ の $BC$ に対する高さを $H$、$BC$ の長さを $c$ とする。面積が1だから$$\begin{array}{cccc}& {\displaystyle \frac{1}{2}}cH=1.& & \text{(1)}\end{array}$$$$\lambda ={\displaystyle \frac{AP}{AB}}(0\leqq \lambda \leqq 1)$$と置く。$PQ\parallel BC$ より相似比から$$PQ=\lambda c\mathrm{.}$$また $PQ$ は $BC$ から高さ $(1-\lambda )H$ の位置にある。$PQ$ の中点に関して $A$ を移した点が $R$ なので、$R$ の $BC$ からの符号付き高さは$$(1-2\lambda )H$$である。 のとき、$\mathrm{△}PQR$ 全体が $\mathrm{△}ABC$ に含まれる。底辺 $PQ=\lambda c$、高さは $\lambda H$ だから$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}(\lambda c)(\lambda H)={\lambda }^2\mathrm{.}$$ のとき、$R$ は $BC$ の下側にある。相似関係から、辺 $PR,QR$ が $BC$ 上に切り取る下底の長さは$$(2\lambda -1)c$$である。従って共通部分は、高さ $(1-\lambda )H$、2本の平行な辺が $\lambda c,(2\lambda -1)c$ の台形である。(1)を使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\lambda c+(2\lambda -1)c}{2}}(1-\lambda )H}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(3\lambda -1)(1-\lambda )\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$S=\{\begin{array}{ll}{\lambda }^2& (0\leqq \lambda \leqq 1\mathrm{/}2),\\ (3\lambda -1)(1-\lambda )& (1\mathrm{/}2<\lambda \leqq 1)\mathrm{.}\end{array}$$前半の最大値は $1\mathrm{/}4$。後半は$$(3\lambda -1)(1-\lambda )=-3{(\lambda -{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}$$だから最大値は$${\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$