京都大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $C(x)$ は $x$ を100で割った余りを表している。したがって $C(nx)=C(ny)$ であることは、$nx$ と $ny$ の下2桁が等しいこと、すなわち $100\mid n(x-y)$ であることと同値である。

いま $n$ は2でも5でも割り切れないので、$n$ と $100=2^2\cdot 5^2$ は互いに素である。よって $100\mid n(x-y)$ から $100\mid x-y$ が従う。したがって $x$ と $y$ は100で割った余りが等しく、$C(x)=C(y)$ である。

(2) $x=0,1,2,\dots ,99$ に対して $x⟼C(nx)$ を考える。もし $0\leqq x<y\leqq 99$ で $C(nx)=C(ny)$ となったとすると、(1)より $C(x)=C(y)$ である。しかし $0\leqq x,y\leqq 99$ では下2桁がその数自身なので、$C(x)=C(y)$ は $x=y$ を意味する。これは $x<y$ に反する。

したがって、100個の数 $C(n\cdot 0),C(n\cdot 1),\dots ,C(n\cdot 99)$ は互いにすべて異なる。これらはいずれも $0,1,2,\dots ,99$ のいずれかであり、個数も100個であるから、$0,1,2,\dots ,99$ をちょうど1回ずつ取る。よって、その中に1も現れる。すなわち、ある $0\leqq x\leqq 99$ が存在して $C(nx)=1$ となる。

$\gcd (n,100)=1$ から Bézout の等式 $rn+100s=1$ を用意する。(1)では合同式へ逆数 $r$ を掛け、(2)では同じ $r$ の100を法とする代表元をそのまま構成する。

(1)
$\gcd (n,100)=1$ なので、ある整数 $r,s$ が存在して$$rn+100s=1$$を満たす。$C(nx)=C(ny)$ なら$$nx\equiv ny(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}100)\mathrm{.}$$両辺へ $r$ を掛けると $rn\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}100)$ だから$$x\equiv y(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}100)\mathrm{.}$$従って $C(x)=C(y)$ である。

(2)
上の整数 $r$ と同じ100を法とする剰余をもつ$$x\in \{0,1,\dots ,99\}$$を取る。このとき$$nx\equiv nr\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}100)$$であるから $C(nx)=1$ である。これは条件を満たす非負整数 $x$ の具体的な構成になっている。